[论文解读] Non-Asymptotic Rates for Manifold, Tangent Space, and Curvature Estimation

Eddie Aamari, Clément Levrard|arXiv (Cornell University)|May 2, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 19被引用 61

一句话总结

本文在带正的 reach 的 k-正则性模型下，利用局部多项式估计量，从带噪声样本中推导出估计流形、切空间和曲率的非渐近极小极大速率。

ABSTRACT

Given an $n$-sample drawn on a submanifold $M \\subset \\mathbb{R}^D$, we derive optimal rates for the estimation of tangent spaces $T\\_X M$, the second fundamental form $II\\_X^M$, and the submanifold $M$.After motivating their study, we introduce a quantitative class of $\\mathcal{C}^k$-submanifolds in analogy with H{\\"o}lder classes.The proposed estimators are based on local polynomials and allow to deal simultaneously with the three problems at stake. Minimax lower bounds are derived using a conditional version of Assouad's lemma when the base point $X$ is random.

研究动机与目标

• 在极小极大意义下的非渐近框架中，激励从带噪声样本中研究几何量（流形、切空间、曲率）的估计。
• 引入带正 reach 的 C^k 子流形模型，以量化正则性和全局几何。
• 提出能够联合处理流形、切空间和曲率估计的局部多项式估计量。
• 推导极小极大上界和下界，显示速率如何依赖于 n、d、k 以及 reach，与外部维数 D 无关。

提出的方法

• 给出带正 reach tau_min 的 C^k_{tau_min,L} 模型，用以控制局部参数化和曲率。
• 制定管状噪声模型 P^k(tau_min,L, f_min, f_max)(sigma) 以刻画观测噪声。
• 开发一个局部多项式估计方案，在算子范数约束下联合估计投影 pi 和高阶张量 T_2,...,T_{k-1}。
• 通过对投影算子和张量进行带约束的（非凸）优化，获得切空间估计 hat{T}_j 及高阶项。
• 推导切空间、二阶曲率形式和流形 M 与估计量 hat{M} 的 Hausdorff 距离之间的非渐近误差界。
• 通过有条件的 Assouad 型论证给出下界，以在所定义的模型上确立极小极大最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 从 n 个样本估计切空间 T_YM、第二基本形式 II_Y^M 和流形 M 的非渐近极小极大速率是多少？
• RQ2 这些速率如何依赖内在维度 d、外部维度 D、正则性水平 k 以及 reach tau_min？
• RQ3 是否存在一个统一的局部多项式框架能同时估计这三种几何量（流形、切空间、曲率）？
• RQ4 为实现一致估计，正的 reach (tau_min>0) 的必要性是什么，噪声水平 sigma 如何影响速率？
• RQ5 在管状噪声和 C^k 正则性下，所提估计量与极小极大下界的接近程度是多少？

主要发现

• 本文证明在 tau_min>0 的条件下，上界和下界表明估计误差在切空间为 (1/n)^{(k-1)/d}，在第二基本形式为 (1/n)^{(k-2)/d}，在 Hausdorff 距离为 (1/n)^{k/d}。
• 外部维度 D 不影响速率；只有内在维度 d、正则性 k 和样本量 n 起作用。
• 一个基于拟合 pi 和张量 T_2,...,T_{k-1} 的局部多项式估计量，在噪声 sigma 被控制时，以高概率达到所述速率。
• 下界（通过改进的 Assouad 引理）在常数层面上与上界一致，在该模型下确立了切空间和曲率估计的极小极大最优性。
• 结果展示了 reach tau_min 的关键作用，并且当管状噪声 sigma 存在时速率会优雅下降，与当 sigma ~ (1/n)^{alpha/d} 时的正则性 alpha 相一致。