[论文解读] Non-autonomous interacting particle systems in continuum

Martin Friesen|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 40被引用 3

一句话总结

该论文利用Foster-Lyapunov条件和转移核的弱连续性，为连续统中非自治、时间非齐次的相互作用粒子系统构建了一个保守的Feller演化。关键贡献在于在$ \mathbb{R}^d$ 中的有限粒子系统配置空间上，严格证明了Feller过程的存在性与唯一性，适用于具有空间结构的一般生灭动力学。

ABSTRACT

A conservative Feller evolution on continuous bounded functions is constructed from a weakly continuous, time-inhomogeneous transition function describing a pure jump process on a locally compact Polish space. The transition function is assumed to satisfy a Foster-Lyapunov type condition. The results are applied to interacting particle systems in continuum, in particular to general birth-and-death processes (including jumps). Particular examples such as the BDLP and Dieckmann-Law model are considered in the end.

研究动机与目标

• 在局部紧的波兰空间上，为时间非齐次的纯跳马尔可夫过程建立一个保守的Feller演化。
• 将半群方法扩展至连续统中非自治的相互作用粒子系统，其中粒子位置在$ \mathbb{R}^d$ 中连续。
• 为具空间相互作用的一般生灭过程（包括BDLP和Dieckmann-Law模型）提供严格的数学框架。
• 在Foster-Lyapunov型条件和转移核弱连续性的前提下，确保Feller性质与强Feller正则性。
• 将抽象结果应用于具有空间结构的数学生态学与种群动力学中的具体模型。

提出的方法

• 通过在局部紧波兰空间$E$上的转移核$Q(t,x,dy)$，构造作用于有界连续函数上的时变生成元$L(t)$。
• 施加Foster-Lyapunov条件以控制跳跃强度的尾部行为，并确保随机有界性。
• 利用转移核$Q(t,x,dy)$在空间与时间上的弱连续性，确保演化的正则性。
• 应用[20, 23, 17]中的经典结果，在$C_b(E)$（有界连续函数空间）上构造一个保守的Feller演化系统$U(s,t)$。
• 通过紧致包含估计和对时间区间的统一控制，建立Feller性质。
• 将该理论应用于$ \mathbb{R}^d$ 中有限粒子构型的配置空间$\Gamma_0$，通过核$K(\xi,\eta,d\zeta)$处理粒子跳跃与生灭事件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在局部紧波兰空间上，为非自治、时间非齐次的纯跳过程构造一个保守的Feller演化？
• RQ2 在何种条件下，时变转移核$Q(t,x,dy)$能在配置空间$\Gamma_0$上生成一个Feller过程？
• RQ3 如何将Foster-Lyapunov准则适配至非自治系统，以确保紧致性与正则性？
• RQ4 在具有空间动力学的连续统中相互作用粒子系统背景下，Feller性质的充分条件是什么？
• RQ5 这些结果如何应用于具有空间分布粒子相互作用的具体模型，如BDLP和Dieckmann-Law模型？

主要发现

• 在Foster-Lyapunov条件和转移核弱连续性的前提下，为时间非齐次的纯跳过程，在$C_b(E)$上构造了保守的Feller演化系统$U(s,t)$。
• 通过紧致包含建立Feller性质：对任意$T>0$，紧集$B\subset E$，以及$\varepsilon>0$，存在紧集$A\subset E$，使得对所有$t\in[0,T]$和$\eta\in B$，有$Q(t,\eta,A^c)<\varepsilon$。
• 该构造确保了关联的Hunt过程在状态空间$E$上的存在性与唯一性，将经典半群方法扩展至非自治情形。
• 该方法适用于$ \mathbb{R}^d$ 中有限粒子系统的配置空间$\Gamma_0$，从而实现了对空间结构生灭过程的严格分析。
• 当跳跃率核满足足够衰减时，Foster-Lyapunov条件可被验证，例如$a^+(t,x) \leq C(t)/(\lambda(t)+|x|^2)^\alpha$，其中$\alpha > d/2$。
• 结果推广了以往对格点模型的研究，并将柯尔莫哥洛夫方程的适用范围扩展至非自治、空间连续的粒子系统。