[论文解读] Non-autonomous right and left multiplicative perturbations and maximal regularity

Mahdi Achache, El Maati Ouhabaz|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2016

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 1被引用 11

一句话总结

本文在时间依赖型二次型和扰动项的最小正则性假设下，建立了非自治演化方程中右/左乘法扰动形式 $ u'(t) + A(t)B(t)u(t) + P(t)u(t) = f(t) $ 的最大 $ L_p $-正则性。关键结果表明，当形式模满足具有函数 $ \omega $ 的 Hölder 型条件，且 $ \int_0^\tau \frac{\omega(t)}{t^{1+\gamma/2}} dt < \infty $，并满足额外可积性条件时，最大 $ L_p $-正则性在希尔伯特空间 $ \mathcal{H} $ 中对 $ p \in (1,\infty) $ 成立。证明依赖于将问题转化为左扰动形式，并应用先前的正则性结果。

ABSTRACT

We consider the problem of maximal regularity for non-autonomous Cauchy problems $u'(t) + B(t)A(t)u(t) + P(t)u(t) = f(t), u(0) = u_0$ and $u'(t) + A(t)B(t)u(t) + P(t)u(t) = f (t), u(0) = u_0$. In both cases, the time dependent operators $A(t)$ are associated with a family of sesquilinear forms and the multiplicative left or right perturbations $B(t)$ as well as the additive perturbation $P(t)$ are families of bounded operators on the considered Hilbert space. We prove maximal $L_p$-regularity results and other regularity properties for the solutions of the previous problems under minimal regularity assumptions on the forms and perturbations.

研究动机与目标

• 建立希尔伯特空间中非自治演化方程在非自治右/左乘法扰动下的最大 $ L_p $-正则性。
• 通过允许时间依赖的扰动项 $ B(t) $ 和 $ P(t) $，在形式与算子的正则性条件最小化的情况下，扩展先前关于最大正则性的结果。
• 解决长期存在的开放问题：在弱于以往已知条件的假设下，非自治系统在 $ \mathcal{H} $ 中的最大正则性。
• 为左/右乘法扰动（包括同时存在）提供统一的理论框架。

提出的方法

• 通过变量替换 $ v(t) = B(t)u(t) $，将右扰动问题 $ u' + A(t)B(t)u + P(t)u = f $ 转化为左扰动问题，得到 $ v' + B(t)A(t)v - B'(t)B(t)^{-1}v + B(t)P(t)B(t)^{-1}v = B(t)f $。
• 对变换后的问题 $ v $ 应用已知的左乘法扰动最大正则性结果（定理 3.6）。
• 利用 $ t \mapsto B(t) $ 的利普希茨连续性，以及 $ B(t) $ 和 $ P(t) $ 的有界性，确保变换后问题满足所需的算子与正则性条件。
• 建立关键可积性条件 $ \int_0^\tau \frac{\omega(t)}{t^{1+\gamma/2}} dt < \infty $，其中 $ \omega $ 控制形式 $ \mathfrak{a}(t) $ 的时间变化。
• 在 $ W^{1}_p(0,\tau;\mathcal{H}) \times L_p(0,\tau;\mathcal{H}) $ 中推导先验估计，以保证解的稳定性和唯一性。
• 通过将相同变换技术应用于 $ u' + B_0(t)A(t)B_1(t)u + P(t)u = f $，将结果推广至左/右乘法扰动同时存在的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在时间依赖型二次型及有界算子 $ B(t) $、$ P(t) $ 的最小正则性假设下，非自治柯西问题 $ u' + A(t)B(t)u + P(t)u = f $ 在 $ \mathcal{H} $ 中的最大 $ L_p $-正则性在何种条件下成立？
• RQ2 当形式 $ \mathfrak{a}(t) $ 仅关于时间具有 Hölder 连续性，且模 $ \omega(t) $ 满足 $ \int_0^\tau \frac{\omega(t)}{t^{1+\gamma/2}} dt < \infty $ 时，最大正则性结果是否可推广至右乘法扰动？
• RQ3 当左/右乘法扰动同时作用时，最大 $ L_p $-正则性是否仍保持？其成立的条件是什么？
• RQ4 初始数据正则性 $ u_0 \in B(0)^{-1}(\mathcal{H}, D(A(0)))_{1-1/p,p} $ 与最大正则性框架有何关联？
• RQ5 通过 $ v(t) = B(t)u(t) $ 的变换技术，能否将右扰动问题转化为具有已知正则性性质的左扰动问题？

主要发现

• 对于右扰动问题 $ u' + A(t)B(t)u + P(t)u = f $，在 $ \mathcal{H} $ 中对所有 $ p \in (1,\infty) $，最大 $ L_p $-正则性成立，前提是形式 $ \mathfrak{a}(t) $ 满足 $ |\mathfrak{a}(t,u,v) - \mathfrak{a}(s,u,v)| \leq \omega(|t-s|) \|u\|_{\mathcal{V}_\beta} \|v\|_{\mathcal{V}_\gamma} $，且 $ \int_0^\tau \frac{\omega(t)}{t^{1+\gamma/2}} dt < \infty $。
• 若附加条件 $ \int_0^\tau \frac{\omega(t)^p}{t^{\frac{1}{2}(\beta + p\gamma)}} dt < \infty $ 成立，则对初始数据 $ u_0 \in B(0)^{-1}(\mathcal{H}, D(A(0)))_{1-1/p,p} $，最大 $ L_p $-正则性得以实现。
• 解满足先验估计 $ \|u\|_{W^1_p(0,\tau;\mathcal{H})} + \|A(\cdot)B(\cdot)u(\cdot)\|_{L_p(0,\tau;\mathcal{H})} \leq C\left[\|f\|_{L_p(0,\tau;\mathcal{H})} + \|B(0)u_0\|_{(\mathcal{H}, D(A(0)))_{1-1/p,p}}\right] $，其中 $ C > 0 $ 与 $ f $ 和 $ u_0 $ 无关。
• 该结果可推广至左/右乘法扰动同时存在的情形：对于 $ u' + B_0(t)A(t)B_1(t)u + P(t)u = f $，在类似条件下，最大 $ L_p $-正则性成立，且初始数据满足 $ u_0 \in B_1(0)^{-1}(\mathcal{H}, D(A(0)))_{1-1/p,p} $。
• 变换 $ v(t) = B(t)u(t) $ 将右扰动问题转化为左扰动问题，从而可应用现有的正则性理论。
• 证明依赖于 $ t \mapsto B(t) $ 的利普希茨连续性，以及 $ B(t) $ 和 $ P(t) $ 的有界性，确保变换后问题满足必要的算子与可测性条件。