[论文解读] Non-branching geodesics and optimal maps in strong CD(K,{\infty})-spaces

Tapio Rajala, Karl‐Theodor Sturm|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 6

一句话总结

该论文证明，在强 CD(K,∞)-空间——即在所有 Wasserstein 测地线中熵泛函 K-凸的度量测度空间——中，具有有限二阶矩的绝对连续测度之间的最优传输计划集中于非分支测地线。关键结果是此类空间本质上是非分支的，意味着最优传输映射的唯一性以及在测度 Gromov-Hausdorff 收敛下的稳定性，包括对 Ricci 曲率有下界的黎曼流形的 Gromov-Hausdorff 极限也成立。

ABSTRACT

We prove that in metric measure spaces where the entropy functional is K-convex along every Wasserstein geodesic any optimal transport between two absolutely continuous measures with finite second moments lives on a non-branching set of geodesics. As a corollary we obtain that in these spaces there exists only one optimal transport plan between any two absolutely continuous measures with finite second moments and this plan is given by a map. The results are applicable in metric measure spaces having Riemannian Ricci-curvature bounded below, and in particular they hold also for Gromov-Hausdorff limits of Riemannian manifolds with Ricci-curvature bounded from below by some constant.

研究动机与目标

• 解决具有下界 Ricci 曲率的度量测度空间中分支测地线的挑战。
• 建立在强 CD(K,∞)-空间中，绝对连续测度之间的最优传输避开分支测地线。
• 在这些空间中证明最优传输映射的唯一性，将结果扩展至 Ricci 曲率有下界的黎曼流形的极限。
• 通过证明本质非分支性，证明 RCD(K,∞) 条件在测度 Gromov-Hausdorff 收敛下的稳定性。

提出的方法

• 将强 CD(K,∞)-空间定义为熵在所有 Wasserstein 测地线上 K-凸的空间。
• 通过测地线计划的分解和循环单调性分析传输路径。
• 通过组合最优计划的左右重参数化构造混合测地线计划。
• 通过分裂映射 Sp 的双李普希茨前推，从乘积测度构造新的测地线计划。
• 通过证明若原始计划中存在分支，则混合计划不可能是本质非分支的，从而导出矛盾。
• 利用三角不等式等式和循环单调性强制测地线长度相等的事实，推导出非分支结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在度量测度空间中，若熵沿所有测地线 K-凸，是否意味着最优传输计划避开分支测地线？
• RQ2 在强 CD(K,∞)-空间中，能否在不预先假设非分支性的情况下建立最优传输映射的唯一性？
• RQ3 RCD(K,∞) 条件在测度 Gromov-Hausdorff 收敛下是否稳定，且是否蕴含本质非分支性？
• RQ4 Ricci 曲率有下界 K 的黎曼流形的 Gromov-Hausdorff 极限是否继承本质非分支性？
• RQ5 能否通过此非分支性结果，从 RCD(K,∞) 框架恢复 Lott-Villani CD(K,∞) 条件？

主要发现

• 每个强 CD(K,∞)-空间都是本质上非分支的，即具有有限二阶矩的绝对连续测度之间的最优传输计划集中于非分支测地线。
• RCD(K,∞) 条件蕴含本质非分支性，解决了关于 Ricci 曲率有下界的黎曼流形的 Gromov-Hausdorff 极限结构的开放问题。
• RCD(K,∞) 条件在测度 Gromov-Hausdorff 收敛下稳定，并蕴含 Lott-Villani CD(K,∞) 条件。
• 在强 CD(K,∞)-空间中，最优传输映射是唯一的，因为传输计划集中于非分支测地线集合。
• 若从两个正交的最优计划构造混合测地线计划，当存在分支时将导致矛盾，从而证明分支不可能影响此类空间中的最优传输。