[论文解读] Non-classical Berry-Esseen inequality and accuracy of the weighted bootstrap

Mayya Zhilova|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 36被引用 7

一句话总结

本文提出了一种非经典的多变量Berry-Esseen不等式，以提高对具有有界四阶矩的独立零均值随机向量和的欧几里得范数的分位数估计的加权自助程序的准确性。关键贡献是在ℝᵖ中的所有欧几里得球上建立了统一的近似界，从而得到显式依赖于样本大小和维度的更紧的误差率，提升了对一般对数似然比统计量的自助程序准确性。

ABSTRACT

We study accuracy of a weighted bootstrap procedure for estimation of quantiles of Euclidean norm of a sum of independent random vectors with zero mean and bounded fourth moment. We establish higher-order approximation bounds with error terms depending explicitly on a sample size and a dimension. These results lead to improvements of accuracy of a weighted bootstrap procedure for general log-likelihood ratio statistics. The key element of our proofs of the bootstrap accuracy is a multivariate Berry-Esseen inequality in a non-classical form. We consider a problem of approximation of distributions of two sums of zero mean independent random vectors, such that summands with the same indices have equal moments up to at least the second order. The derived approximation bound is uniform on the set of all Euclidean balls in $\mathbb{R}^{p}$. This approximation is an extension of a Gaussian one. The theoretical results are illustrated with numerical experiments.

研究动机与目标

• 提高对独立随机向量和的欧几里得范数的分位数估计的加权自助程序的准确性。
• 推导出对自助误差具有显式样本大小和维度依赖性的高阶近似界。
• 为具有二阶矩匹配的独立随机向量和建立一种非经典的多变量Berry-Esseen不等式。
• 将高斯近似推广至ℝᵖ中所有欧几里得球的统一界。
• 将理论结果应用于提升一般对数似然比统计量推断的准确性。

提出的方法

• 推导一种非经典的多变量Berry-Esseen不等式，用于近似具有匹配二阶矩的独立零均值随机向量和的分布。
• 在ℝᵖ中的所有欧几里得球上建立统一的近似界，优于经典的高斯近似。
• 使用特征函数技术和矩匹配条件来控制近似中的误差项。
• 将推导出的界应用于分析加权自助程序在对数似然比统计量上的准确性。
• 在误差界中显式纳入样本大小和维度的依赖关系，以反映更高阶的准确性。
• 通过高维数据上的数值实验验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何提高高维分位数估计中加权自助程序的准确性？
• RQ2 独立随机向量和的欧几里得范数分布近似的最优收敛速率是什么？
• RQ3 非经典的多变量Berry-Esseen不等式在高维中能否提供比经典版本更紧的界？
• RQ4 自助近似中的误差如何依赖于样本大小和维度？
• RQ5 所推导的近似在多大程度上能提升一般对数似然比统计量的推断准确性？

主要发现

• 建立了一种非经典的多变量Berry-Esseen不等式，其在ℝᵖ中所有欧几里得球上具有统一的界，优于经典的高斯近似。
• 近似误差显式依赖于样本大小和维度，从而在高维设置中实现更高阶的准确性。
• 所推导的界使得在估计独立随机向量和的欧几里得范数分位数时，加权自助程序的误差率得到改善。
• 通过控制高阶误差项，该方法提升了对一般对数似然比统计量的自助推断准确性。
• 数值实验验证了理论改进，表明在有限样本中具有更紧的覆盖区间和更好的收敛性。
• 结果表明，仅需对和项的二阶矩进行匹配，即可在所有欧几里得球上实现统一近似。