[论文解读] Non-classifiability of Ergodic Flows up to Time Change

Marlies Gerber, Philipp Kunde|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文证明了遍历测度保持变换的Kakutani等价关系不是Borel集，从而证明了在Kakutani等价关系下的分类本质上是不可分类的。通过从非良基树空间出发的连续约化，作者证明了该反分类结果在具有圆作用的紧致曲面上的遍历$C^\infty$微分同胚以及2-环面上的实解析微分同胚中依然成立。

ABSTRACT

A time change of a flow $\{T_t\}$, ${t\in\mathbb{R}}$, is a reparametrization of the orbits of the flow such that each orbit is mapped to itself by an orientation-preserving homeomorphism of the parameter space. If a flow $\{S_t\}$ is isomorphic to a flow obtained by a reparametrization of a flow $\{T_t\}$, then we say that $\{S_t\}$ and $\{T_t\}$ are isomorphic up to a time change. For ergodic flows $\{S_t\}$ and $\{T_t\}$, Kakutani showed that this happens if and only if the two flows have Kakutani equivalent transformations as cross-sections. We prove that the Kakutani equivalence relation on ergodic invertible measure-preserving transformations of a standard non-atomic probability space is not a Borel set. This shows in a precise way that classification of ergodic transformations up to Kakutani equivalence is impossible. In particular, our results imply the non-classifiability of ergodic flows up to isomorphism after a time change. Moreover, we obtain anti-classification results under isomorphism for ergodic invertible transformations of a sigma-finite measure space. We also obtain anti-classification results under Kakutani equivalence for ergodic area-preserving smooth diffeomorphisms of the disk, annulus, and 2-torus, as well as real-analytic diffeomorphisms of the $2$-torus. Our work generalizes the anti-classification results under isomorphism for ergodic transformations obtained by Foreman, Rudolph, and Weiss.

研究动机与目标

• 解决关于遍历流的Kakutani等价关系是否可用Borel方法分类的开放问题。
• 将等价关系的反分类技术从同构扩展到Kakutani等价，后者在遍历理论中是一种较弱但自然的等价关系。
• 在紧致曲面和2-环面上的光滑与实解析微分同胚中建立不可分类性结果。
• 证明在这些设定下，不存在任何Borel函数可作为Kakutani等价的完全不变量。

提出的方法

• 从具有圆作用的紧致曲面上的遍历$C^\infty$微分同胚空间，构造到非良基树空间的连续约化。
• 利用一个函子将基于记数器的系统映射到圆系统，再通过参数化构造将这些圆系统实现为光滑微分同胚。
• 通过控制参数$l_n$的增长与衰减速率，确保收敛到与圆系统同构的$C^\infty$微分同胚。
• 借助Foreman和Weiss（2019）关于$C^\infty$微分同胚空间的结果，控制微分同胚空间拓扑中的邻域行为。
• 应用反同步同构理论，将树中无限分支的存在性与微分同胚与其逆之间的Kakutani等价性联系起来。
• 使用实现映射$R$，将符号系统中的Kakutani等价性质转移到光滑微分同胚上，同时保持等价结构。

Figure 7.1. Visualization of the substitution step.

实验结果

研究问题

• RQ1 遍历测度保持变换上的Kakutani等价关系是否为Borel集？
• RQ2 用于同构的反分类技术能否扩展到Kakutani等价？
• RQ3 该不可分类性结果在光滑与实解析范畴中是否依然成立？
• RQ4 是否存在从非良基树空间到遍历$C^\infty$微分同胚空间的连续约化，使得Kakutani等价对应于无限分支的存在？
• RQ5 该方法能否被适配到2-环面上的实解析微分同胚上？

主要发现

• 遍历测度保持变换上的Kakutani等价关系不是Borel集，从而精确地证明了在Kakutani等价关系下的分类本质上是不可分类的。
• 反分类结果扩展到了具有非平凡圆作用的紧致曲面上的遍历$C^\infty$微分同胚。
• 该结果在2-环面上的实解析微分同胚中也成立，表明在实解析范畴中同样存在不可分类性。
• 构造了一个从非良基树空间到遍历$C^\infty$微分同胚空间的连续约化$F^s$，其中具有无限分支的树映射到与其逆Kakutani等价的微分同胚。
• 该构造确保所得到的微分同胚在测度论上同构于圆系统，从而保持Kakutani等价性特征。
• 证明依赖于一个参数化实现映射$R$，该映射保证了$C^\infty$光滑性并同构于圆系统，且通过仔细选择序列$(l_n)$中的增长率来确保收敛性。

Figure 9.1. Feldman patterns $F_{n,i}$ of $n$ -blocks in the $P$ -name of $x$ , their corresponding strings $\tilde{F}_{n,i}$ in the $\Phi^{-1}(P^{f})$ -name of $x$ , and the decomposition of the set $\mathbb{Z}$ of indices into $I_{i}=F_{n,l}\cap\tilde{F}_{n,\tilde{l}}$ .