[论文解读] Non-Clifford and parallelizable fault-tolerant logical gates on constant and almost-constant rate homological quantum LDPC codes via higher symmetries

Guanyu Zhu, Shehryar Sikander+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于拓扑量子场论（TQFT）中高阶对称性的框架，用于在常数率和近乎常数率的同调量子LDPC码上实现非Clifford门和可并行化的容错逻辑门。该研究证明，跨跃门（transversal T gates）在逻辑量子比特相交于一点时，会作为集体CCZ门作用于这些逻辑量子比特，且三重交集数作为拓扑不变量，从而实现无需额外开销的通用、可寻址且可并行的逻辑门操作。

ABSTRACT

We study parallel fault-tolerant quantum computing for families of homological quantum low-density parity-check (LDPC) codes defined on 3-manifolds with constant or almost-constant encoding rate. We derive generic formula for a transversal $T$ gate of color codes on general 3-manifolds, which acts as collective non-Clifford logical CCZ gates on any triplet of logical qubits with their logical-$X$ membranes having a $\mathbb{Z}_2$ triple intersection at a single point. The triple intersection number is a topological invariant, which also arises in the path integral of the emergent higher symmetry operator in a topological quantum field theory: the $\mathbb{Z}_2^3$ gauge theory. Moreover, the transversal $S$ gate of the color code corresponds to a higher-form symmetry supported on a codimension-1 submanifold, giving rise to exponentially many addressable and parallelizable logical CZ gates. A construction of constant-depth circuits of the above logical gates via cup product cohomology operation is also presented for three copies of identical toric codes on arbitrary 3-manifolds. We have developed a generic formalism to compute the triple intersection invariants for 3-manifolds. We further develop three types of LDPC codes supporting such logical gates: (1) A quasi-hyperbolic code from the product of 2D hyperbolic surface and a circle, with almost-constant rate $k/n=O(1/\log(n))$ and $O(\log(n))$ distance; (2) A homological fibre bundle code with $O(1/\log^{\frac{1}{2}}(n))$ rate and $O(\log^{\frac{1}{2}}(n))$ distance; (3) A specific family of 3D hyperbolic codes: the Torelli mapping torus code, constructed from mapping tori of a pseudo-Anosov element in the Torelli subgroup, which has constant rate while the distance scaling is currently unknown. We then show a generic constant-overhead scheme for applying a parallelizable universal gate set with the aid of logical-$X$ measurements.

研究动机与目标

• 开发适用于常数或近乎常数编码率的量子LDPC码的通用、并行、容错门集。
• 克服传统可跨跃门在多个逻辑量子比特上集体作用而缺乏个体寻址能力的局限性。
• 通过拓扑不变量和高阶形式对称性，在同调量子LDPC码上实现非Clifford逻辑门（特别是T门和CCZ门）。
• 构建基于3-流形的LDPC码族，具备优良的码参数和可扩展的逻辑门结构。
• 建立逻辑门相互作用超图与3-流形几何之间的联系，从而实现高效的魔术态注入。

提出的方法

• 通过3-流形中逻辑-X膜的三重交集数，推导出颜色码上可跨跃T门的通用公式。
• 将逻辑非Clifford门（CCZ）识别为(3+1)D Z₂³规范TQFT中的0-形式对称，其中三重交集数为拓扑不变量。
• 将可并行化的逻辑CZ门建模为支持在余维-1子流形上的1-形式对称，从而实现指数级并行性。
• 构建编码三重交集结构的相互作用超图，该超图可直接映射为魔术态注入的超图魔术态。
• 提出三类LDPC码：准双曲码、同调纤维丛码和Torelli映射环面码，每类具有不同的速率与距离缩放特性。
• 利用映射类群和特定Dehn扭转的胞腔体粘合方法，构造具有所需拓扑不变量和门结构的流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在常数率的同调量子LDPC码中，无需魔术态蒸馏开销，实现非Clifford逻辑门的可跨跃实现？
• RQ2 TQFT中的高阶形式对称性如何与同调码中逻辑门的结构相关联？
• RQ3 逻辑-X膜的三重交集数在决定逻辑门操作中起什么作用？
• RQ4 是否可以通过3-流形拓扑工程化逻辑门的相互作用超图，以实现并行且可寻址的门操作？
• RQ5 基于3-流形的LDPC码中贝蒂数和系统长度的缩放行为如何？它们对编码率和距离有何影响？

主要发现

• 在颜色码上，可跨跃T门作用于任意三组逻辑量子比特的集体逻辑CCZ门，其作用条件是这些逻辑-X膜在一点相交，且三重交集数为拓扑不变量。
• 三重交集数对应于(3+1)D Z₂³规范TQFT中高阶对称算符的期望值，从而将量子码与拓扑场论联系起来。
• 可并行化的逻辑CZ门源于TQFT中的1-形式对称，使得可同时应用指数数量的此类门。
• 构建了三类LDPC码：准双曲码（速率k/n = O(1/log n)，距离d = O(log n)）、同调纤维丛码（速率O(1/log¹ᐟ² n)，距离O(log¹ᐟ² n)）和Torelli映射环面码（常数速率，距离缩放未知）。
• 编码三重交集结构的相互作用超图直接对应于超图魔术态，从而实现低开销的高效魔术态注入。
• 该框架实现了使用逻辑-X测量和可跨跃门的常数开销方案，支持通用、并行、容错的量子计算，且无需额外辅助量子比特。