[论文解读] Non-closure of the set of quantum correlations via graphs

Ken Dykema, Vern I. Paulsen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用 10

一句话总结

本文通过一种新颖的图论框架，分析C*-代数中的相关函数，证明了具有5个输入和2个输出的复合系统中，量子相关性的集合不是闭集。关键结果表明，某些带符号非局域游戏的量子值无法被实现，从而得出 $ C_q(5,2) \neq C_{qa}(5,2) $，解决了关于低输入输出维数下量子相关性集合闭包性质的长期疑问。

ABSTRACT

We prove that the set of quantum correlations for a bipartite system of 5 inputs and 2 outputs is not closed. Our proof relies on computing the correlation functions of a graph, which is a concept that we introduce.

研究动机与目标

• 研究小输入输出维数下量子关联集 $ C_q(n,k) $ 的闭包性质，特别是当 $ n=5, k=2 $ 时。
• 通过自由积C*-代数上的迹态，建立图论与量子关联函数之间的联系。
• 证明量子关联集 $ C_q(5,2) $ 不是闭集，从而推出 $ C_q(5,2) \neq C_{qa}(5,2) $。
• 通过使用无理数最优参数，表明某些5输入2输出带符号游戏的同步量子值无法被实现。
• 引入并分析图关联函数 $ f_{qc}(t) $，将其与已知图参数（如分数色数和投影秩）联系起来。

提出的方法

• 将图关联函数 $ f_{qc}(t) $ 定义为：在C*-代数中，给定每个顶点投影的迹 $ t $ 时，所有边的总迹关联的下确界。
• 利用GNS表示，将迹态与具有单位向量和投影的希尔伯特空间表示联系起来。
• 限制在有限维或交换迹态上，以定义 $ f_q(t) $ 和 $ f_{loc}(t) $，并将其与投影秩和分数色数联系起来。
• 构造一个带符号的非局域游戏，对相同输入下输出匹配给予奖励，对输出不匹配施加惩罚，参数化为 $ t \in (0,1) $。
• 分析游戏期望值作为 $ \lambda = \sum_x \tau(E_{x,0}) $ 的函数，证明其在 $ \lambda^* = \frac{A+B}{2B} $ 处取得最大值。
• 证明当 $ \lambda^* $ 为无理数时，无法通过有限维投影实现最大值，从而表明量子值无法被实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子关联集 $ C_q(5,2) $ 是否为闭集，且是否等于 $ C_{qa}(5,2) $？
• RQ2 能否通过低输入输出维数的图论框架，证明量子关联集的非闭包性？
• RQ3 对于5输入2输出的带符号非局域游戏，其同步量子值是否在某些参数值下无法被实现？
• RQ4 图关联函数 $ f_{qc}(t) $ 与分数色数、投影秩等已知图参数之间存在何种关系？
• RQ5 在何种条件下，量子关联泛函的上确界无法由任何有限维表示实现？

主要发现

• 量子关联集 $ C_q(5,2) $ 不是闭集，从而推出 $ C_q(5,2) \neq C_{qa}(5,2) $。
• 当最优参数 $ \lambda^* $ 为无理数时，5输入2输出带符号游戏的同步量子值无法被实现。
• 对于 $ n=5 $，在某些 $ t $ 值下，使游戏期望值最大的最优 $ \lambda^* $ 为无理数，因此无法通过有限维投影实现。
• 图关联函数 $ f_{qc}(t) $ 与图的迹秩相关联，且 $ f_{qc}(t) = 0 $ 当且仅当 $ t \leq 1/\text{tracial rank}(G) $。
• 值 $ \lambda^* = 1 - \frac{n}{2} + \frac{n-2}{2t} $ 是游戏期望值的唯一最大值点，但当 $ t $ 为无理数时，该值亦为无理数。
• 由于有限维C*-代数上的迹在投影上仅取有理数值，因此无法实现无理数 $ \lambda^* $，从而证明了量子值无法被实现。