[论文解读] Non-commutative Discretize-then-Optimize Algorithms for Elliptic PDE-Constrained Optimal Control Problems

Jun Liu, Zhu Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文提出正则化技术以在椭圆PDE约束最优控制问题的非交换离散化-然后优化（DO）格式中恢复收敛性。通过引入$H^1$半范数惩罚项，该方法即使在离散化与优化不交换时也能确保最优收敛性，经由二阶与四阶有限差分格式的数值实验验证，结果确认了其精度与稳定性。

ABSTRACT

In this paper, we analyze the convergence of several discretize-then-optimize algorithms, based on either a second-order or a fourth-order finite difference discretization, for solving elliptic PDE-constrained optimization or optimal control problems. To ensure the convergence of a discretize-then-optimize algorithm, one well-accepted criterion is to choose or redesign the discretization scheme such that the resultant discretize-then-optimize algorithm commutes with the corresponding optimize-then-discretize algorithm. In other words, both types of algorithms would give rise to exactly the same discrete optimality system. However, such an approach is not trivial. In this work, by investigating a simple distributed elliptic optimal control problem, we first show that enforcing such a stringent condition of commutative property is only sufficient but not necessary for achieving the desired convergence. We then propose to add some suitable $H_1$ semi-norm penalty/regularization terms to recover the lost convergence due to the inconsistency caused by the loss of commutativity. Numerical experiments are carried out to verify our theoretical analysis and also validate the effectiveness of our proposed regularization techniques.

研究动机与目标

• 解决当离散化与优化不交换时，离散化-然后优化（DO）方法缺乏收敛性的问题。
• 开发正则化技术，以在离散化与优化之间不要求严格交换性的情况下恢复收敛性。
• 验证$H^1$半范数正则化在保持高阶有限差分格式最优收敛率方面的有效性。
• 证明所提出方法即使在非交换性存在时，仍能保持状态与控制近似中的二阶与四阶精度。
• 为在推导连续最优性条件在分析上具有挑战性的情况下，提供一种稳健的优化-然后离散化（OD）方法的替代方案。

提出的方法

• 引入$H^1$半范数正则化项以稳定非交换DO格式并恢复收敛性。
• 对状态与控制变量应用二阶与四阶有限差分离散化，并对伴随变量采用一致处理方式。
• 在离散最优控制公式中使用梯形法与Simpson法则进行数值积分。
• 通过在控制与状态方程中引入稳定参数$\gamma$，推导正则化离散最优性系统。
• 利用矩阵交换性（如$F_h R_h = R_h F_h$）证明在特定条件下，正则化DO与OD格式等价。
• 通过理论误差分析与具有已知解析解的模型问题的数值实验验证收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不强制要求DO方法与OTD方法严格交换的前提下，恢复非交换离散化-然后优化格式的收敛性？
• RQ2 何种正则化策略可确保在离散化与优化不交换时，DO格式中保持二阶与四阶精度？
• RQ3 在高阶有限差分格式中，$H^1$半范数惩罚项如何影响状态、控制与伴随变量的收敛性？
• RQ4 当离散伴随状态$ p_h $无法收敛至精确伴随状态$ p = \alpha u $时，所提方法是否仍能保持最优收敛率？
• RQ5 该正则化技术是否可推广至具有复杂约束或高阶离散化的通用PDE约束最优控制问题？

主要发现

• 所提出的$H^1$正则化技术即使在离散化与优化不交换时，也能在DO格式（23）中恢复二阶收敛性。
• 四阶DO格式（24）在状态与控制近似中实现了四阶精度，理论分析与数值结果均予以证实。
• 尽管引入了正则化，离散伴随状态$ p_h $并未收敛至精确伴随状态$ p = \alpha u $，但这不影响状态与控制变量的收敛性。
• 当$ F_h $与$ R_h $可交换时，正则化DO格式与相应OD格式产生相同的离散最优性系统，确保了一致性。
• 数值实验验证了理论收敛速率，并展示了对控制近似中虚假振荡的抑制效果。
• 该方法为在推导连续KKT系统在分析上不可行的问题中，提供了OD方法的可行替代方案。