[论文解读] Non-commutative geometry as a realization of varying speed of light cosmology

Stephon Alexander, João Magueijo|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2001

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用 27

一句话总结

本文提出，早期宇宙中的时空非对易性通过扭曲光子色散关系，自然实现了变光速（VSL）宇宙学，导致光速具有频率依赖性，且随温度升高而增大。由此产生的非对易热辐射相解决了视界问题和平坦性问题，并解释了宇宙的巨大熵，此时光子在高能下行为类似于晶体中的声子。

ABSTRACT

We examine the cosmological implications of space-time non-commutativity, discovering yet another realization of the varying speed of light model. Our starting point is the well-known fact that non-commutativity leads to deformed dispersion relations, relating energy and momentum, implying a frequency dependent speed of light. A Hot Big Bang Universe therefore experiences a higher speed of light as it gets hotter. We study the statistical physics of this "deformed radiation", recovering standard results at low temperatures, but a number of novelties at high temperatures: a deformed Planck's spectrum, a temperature dependent equation of state $w=p/ρ$ (ranging from 1/3 to infinity), a new Stephan-Boltzmann law, and a new entropy relation. These new photon properties closely mimic those of phonons in crystals, hardly a surprising analogy. They combine to solve the horizon and flatness problems, explaining also the large entropy of the Universe. We also show how one would find a direct imprint of non-commutativity in the spectrum of a cosmic graviton background, should it ever be detected.

研究动机与目标

• 建立非对易几何与变光速（VSL）宇宙学之间的具体联系，作为暴胀的替代方案。
• 研究早期宇宙中时空非对易性如何导致光子色散关系的形变，从而暗示光速具有频率依赖性。
• 探讨该非对易相的宇宙学影响，特别是其解决视界问题和平坦性问题的能力。
• 将非对易早期宇宙模型与可观测的宇宙学特征（如熵和结构形成初始条件）联系起来。
• 提供一个框架，使VSL并非源于显式的时变，而是源于时空对称性的量子形变，从而为宇宙学初始条件提供热起源。

提出的方法

• 通过交换关系 $[\hat{x}^\mu, \hat{x}^\nu] = i\Theta^{\mu\nu}$ 形式化时空非对易性，其中 $\Theta^{\mu\nu}$ 线性依赖于坐标，以打破庞加莱对称性。
• 使用 $*$-乘积实现非对易场论：$\phi * \psi(x) = \exp\left(\frac{i}{2}\Theta^{\mu\nu}\partial_{x_\mu}\partial_{x_\nu}\right)\phi(x)\psi(y)\big|_{x=y}$，在拉格朗日量中引入非局域性。
• 从非对易代数推导光子的形变色散关系，导致光速具有频率依赖性：当 $T \to \infty$ 时，$c(\omega) \to \infty$。
• 分析非对易相中形变辐射的统计力学，计算修正的普朗克谱、温度依赖的物态方程 $w = p/\rho \in [1/3, \infty)$，以及新的熵关系。
• 将非对易光子与晶体中的声子类比，其中普朗克温度起着德拜温度的作用。
• 表明非对易相自然解释了宇宙的巨大熵，并在低温下实现洛伦兹对称性的涌现。

实验结果

研究问题

• RQ1 早期宇宙中的时空非对易性能否导致变光速（VSL）宇宙学？
• RQ2 非对易性如何修改光子的色散关系，其宇宙学后果是什么？
• RQ3 标准大爆炸模型中的视界问题和平坦性问题是否能在非对易早期宇宙框架内得到解决？
• RQ4 在非对易辐射主导相中，物态方程和熵的性质是什么？
• RQ5 随着宇宙从非对易相冷却，洛伦兹对称性的涌现以及标准大爆炸相的出现过程是怎样的？

主要发现

• 具有线性依赖 $\Theta^{\mu\nu}$ 的非对易时空导致光速具有频率依赖性，且随温度升高而增大，从而实现了VSL情景。
• 非对易相表现出形变的普朗克谱和温度依赖的物态方程 $w = p/\rho$，其取值范围从 $1/3$ 到无穷大，表明与标准辐射行为存在显著偏离。
• 出现了新的斯特藩-玻尔兹曼定律和修正的熵关系，无需引入重加热或额外熵产生机制，即可解释宇宙的巨大熵。
• 非对易相中的光子行为类似于晶体中的声子，其中普朗克温度起着德拜温度的作用，且在高能下出现洛伦兹对称性破缺。
• 该模型通过在高温下允许超光速信号传播，使早期宇宙中各区域实现因果联系，从而自然解决了视界问题和平坦性问题。
• 当宇宙温度低于普朗克温度时，宇宙进入标准大爆炸相，非对易性变得可忽略，$c(\omega)$ 稳定为常数，与观测到的洛伦兹对称性一致。