[论文解读] Non-commutative Krull monoids: A divisor theoretic approach and their arithmetic

Alfred Geroldinger|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2012

Rings, Modules, and Algebras参考文献 26被引用 11

一句话总结

本文为非交换克鲁尔幺半群构建了一个除子理论框架，将经典除子理论推广至非交换情形。研究证明，正规化克鲁尔幺半群存在除子同态，并且当每个非单位元均属于某个真除子理想时，此类幺半群为有界分解幺半群；此外，当戴维森常数有限时，该幺半群展现出诸如有限弹性与长度集合中距离集合有限等算术上的有限性性质。

ABSTRACT

A (not necessarily commutative) Krull monoid---as introduced by Wauters---is defined as a completely integrally closed monoid satisfying the ascending chain condition on divisorial two-sided ideals. We study the structure of these Krull monoids, both with ideal theoretic and with divisor theoretic methods. Among others we characterize normalizing Krull monoids by divisor theories. Based on these results we give a criterion for a Krull monoid to be a bounded factorization monoid, and we provide arithmetical finiteness results in case of normalizing Krull monoids with finite Davenport constant.

研究动机与目标

• 将除子理论推广至非交换克鲁尔幺半群，推广交换代数数论中的经典结果。
• 通过除子同态刻画正规化克鲁尔幺半群，建立除子结构的非交换类比。
• 基于理想论条件，为克鲁尔幺半群成为有界分解幺半群提供一个判别准则。
• 针对戴维森常数有限的正规化克鲁尔幺半群，建立算术上的有限性结果，特别是关于弹性、长度集合以及戴维森常数的性质。

提出的方法

• 将除子双边理想理论适配至非交换幺半群，推广交换情形的结果。
• 引入并研究从克鲁尔幺半群到自由阿贝尔幺半群的除子同态，实现算术性质的转移。
• 构造从克鲁尔幺半群到其类群上零和序列幺半群的转移同态，利用素除子的像。
• 应用类群构造，将算术问题约化为有限交换群中零和序列的研究。
• 利用戴维森常数的有限性，推导出弹性与长度集合中距离集合的有限性。
• 运用为零和序列幺半群证明的长度集合结构定理，将结果反向转移回原始克鲁尔幺半群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非交换克鲁尔幺半群是有界分解幺半群？
• RQ2 如何将除子理论推广至非交换幺半群，特别是关于除子同态的构造？
• RQ3 戴维森常数有限的非交换克鲁尔幺半群具有哪些算术上的有限性性质？
• RQ4 克鲁尔幺半群的类群与其长度集合结构之间有何关系？
• RQ5 是否可将转移同态推广至非交换克鲁尔幺半群，以将算术问题约化为组合群论问题？

主要发现

• 若每个非单位元均属于某个真除子理想，则克鲁尔幺半群为有界分解幺半群。
• 存在一个从克鲁尔幺半群到其类群上零和序列幺半群的转移同态，且素除子的像映射至类群中的素元。
• 若类群的戴维森常数有限，则该幺半群的弹性为有限。
• 当戴维森常数有限时，距离集合∆(H)为有限。
• 若戴维森常数有限，则长度集合的结构定理对参数M*与∆(H)成立。
• 类群中包含素除子的类所生成的零和序列幺半群，捕捉了克鲁尔幺半群的本质算术结构。