[论文解读] Non-commutative NLS hierarchies: dressing, solutions & time-like boundaries

Anastasia Doikou, Spyridoula Sklaveniti+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2018

Nonlinear Waves and Solitons被引用 1

一句话总结

本文利用矩阵积分或n阶矩阵微分算子，发展了一套适用于矩阵非线性薛定谔（NLS）层级的通用达布-穿衣方案，通过矩阵盖尔范德-列维坦-马尔琴科方程推导解，并确定了拉克斯对的递推关系。关键贡献在于推导出非交换里卡蒂方程及其解，从而构造守恒量，并与艾尔米和伯吉斯方程建立联系。

ABSTRACT

We consider the generalized matrix non-linear Schrodinger (NLS) hierarchy. By employing the universal Darboux-dressing scheme we derive solutions for the hierarchy of integrable PDEs via solutions of the matrix Gelfand-Levitan-Marchenko equation, and we also identify recursion relations that yield the Lax pairs for the whole matrix NLS-type hierarchy. These results are obtained considering either matrix-integral or general $n^{th}$ order matrix-differential operators as Darboux-dressing transformations. In this framework special links with the Airy and Burgers equations are also discussed. The matrix version of the Darboux transform is also examined leading to the non-commutative version of the Riccati equation. The non-commutative Riccati equation is solved and hence suitable conserved quantities are derived. In this context we also discuss the infinite dimensional case of the NLS matrix model as it provides a suitable candidate for a quantum version of the usual NLS model. Similarly, the non-commutitave Riccati equation for the general dressing transform is derived and it is naturally equivalent to the one emerging from the solution of the auxiliary linear problem.

研究动机与目标

• 将达布-穿衣方法推广至基于矩阵积分或微分算子的矩阵非线性薛定谔（NLS）层级。
• 建立生成整个矩阵NLS型层级拉克斯对的递推关系。
• 探索矩阵NLS层级与其他可积系统（如艾尔米和伯吉斯方程）之间的联系。
• 推导并求解由穿衣变换产生的非交换里卡蒂方程，从而实现守恒量的构造。
• 考察无限维矩阵NLS模型作为经典NLS模型量子化版本的候选理论。

提出的方法

• 采用基于矩阵积分或n阶矩阵微分算子的通用达布-穿衣方案。
• 通过求解矩阵盖尔范德-列维坦-马尔琴科方程，生成矩阵NLS层级的解。
• 推导出系统性生成整个层级拉克斯对的递推关系。
• 从矩阵达布变换中提出非交换里卡蒂方程并显式求解。
• 建立由穿衣变换导出的非交换里卡蒂方程与由辅助线性问题导出的该方程之间的等价性。
• 分析无限维矩阵NLS模型的情形，以提示经典NLS模型的量子化形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用矩阵积分或微分算子将达布-穿衣方法推广至矩阵NLS层级？
• RQ2 控制矩阵NLS型层级中拉克斯对的递推关系是什么？
• RQ3 非交换里卡蒂方程及其解与矩阵NLS系统中守恒量的关系如何？
• RQ4 矩阵NLS层级与其他可积系统（如艾尔米和伯吉斯方程）之间存在何种联系？
• RQ5 无限维矩阵NLS模型能否作为经典NLS模型量子版本的可行候选？

主要发现

• 通用达布-穿衣方案成功通过矩阵盖尔范德-列维坦-马尔琴科方程为矩阵NLS层级生成了解。
• 识别出可生成整个矩阵NLS型层级拉克斯对的递推关系。
• 推导并求解了非交换里卡蒂方程，从而在系统中构造出守恒量。
• 通过穿衣框架表明，矩阵NLS层级与艾尔米和伯吉斯方程存在自然联系。
• 提出无限维矩阵NLS模型作为量子NLS理论的候选，其非交换结构保持一致。
• 证明了由穿衣变换导出的非交换里卡蒂方程与由辅助线性问题导出的该方程等价。