[论文解读] Non-compact Torsion Free Ball Quotients

Азнив Каспарян|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 2

一句话总结

该论文证明了SU(n,1)中一个无 torsion 的格 G 的球面商 B/G 的环形紧化空间 X' 的基本群同构于 G/G(U)，其中 G(U) 是 G 与在 G-有理边界点处的 unipotent 极大子群的交换子群的交集所生成的子群。作为推论，X' 的第一整同调群是 B/G 的第一整同调群模一个有限群的商，且该论文利用 SU(n,1) 格的剩余有限性，构造了在紧化除子上具有任意大分支指数的非分歧覆盖。

ABSTRACT

Let B be the complex n-dimensional ball and X' be the toroidal compactification of a quotient B/G by a torsion free lattice G of SU(n,1). For an arbitrary G-rational boundary point p, denote by U(p) the commutant of the unipotent radical of the stabilizer of p in SU(n,1) and put G(U) for the subgroup of G, generated by the intersections of G with U(p) for all G-rational boundary points p. The present note establishes that the fundamental group of X' is isomorphic to the quotient G / G(U). As a consequence, the first integral homology group of X' turns to be a quotient of the first integral homology group of B/G by a finite group. The work shows that for any natural number N, there is a normal subgroup G(N) of G of finite index, such that the unramified covering of B/G by B/G(N), induced by the identity of the ball B extends to a covering of the corresponding toroidal compactifications with ramification index greater than N over the toroidal compactifying divisor of B/G(N). The argument exploits the residual finiteness of the lattices in SU(n,1). In the case of a complex dimension 2, the geometric genus of X' equals 1. If X' is not of general type, then the irregularity of X' does not exceed 2 and equals 2 only when X' is birational to an abelian surface. The torsion free surfaces X' of minimal volume are characterized by the Kodaira-Enriques classification types of their minimal models, as well as by lower and upper bounds on the number of the cusps.

研究动机与目标

• 确定 SU(n,1) 中一个无 torsion 格 G 的商 B/G 的环形紧化空间 X' 的基本群。
• 分析 X' 的第一整同调群的结构及其与非紧致商 B/G 的同调群之间的关系。
• 构造 G 的有限指数正规子群 G(N)，使得诱导的紧化覆盖在环形除子上的分支指数超过任给定的 N。
• 利用 Kodaira-Enriques 分类与尖点计数，对最小体积的无 torsion 球面商曲面 X' 的极小模型进行分类。
• 确定 X' 的几何亏格为 1 且不规则性 ≤ 2 的条件，特别是当 X' 有理同构于阿贝尔曲面时。

提出的方法

• 定义 U(p) 为 SU(n,1) 中在 G-有理边界点 p 处的稳定化子的 unipotent 极大子群的交换子群，并构造 G(U) 为所有此类 p 的 G ∩ U(p) 生成的子群。
• 利用同构 G / G(U) ≅ π₁(X') 将紧化的基本群与格的结构联系起来。
• 利用 SU(n,1) 格的剩余有限性，构造有限指数正规子群 G(N)，使得覆盖 B/G(N) → B/G 延拓至环形紧化空间。
• 分析延拓覆盖的分支行为，证明通过适当选择 N，可在环形除子上使分支指数任意大。
• 应用 Kodaira-Enriques 分类来刻画最小体积的曲面 X' 的极小模型，利用尖点数的上下界。
• 利用几何亏格与不规则性不变量，对满足 p_g = 1 且 q ≤ 2 的曲面 X' 进行分类，特别识别出 X' 有理同构于阿贝尔曲面的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 SU(n,1) 中无 torsion 球面商 B/G 的环形紧化空间 X' 的基本群是什么？
• RQ2 X' 的第一整同调群与非紧致商 B/G 的同调群有何关系？
• RQ3 能否构造 B/G 的有限指数覆盖，使其延拓至环形紧化空间，并在紧化除子上具有任意大的分支指数？
• RQ4 最小体积的无 torsion 球面商曲面 X' 的极小模型属于何种 Kodaira-Enriques 类型？
• RQ5 在何种条件下 X' 的几何亏格为 1 且不规则性 ≤ 2？当 X' 有理同构于阿贝尔曲面时，其特征是什么？

主要发现

• X' 的基本群同构于 G / G(U)，其中 G(U) 是 G 与在 G-有理边界点处的 unipotent 极大子群的交换子群的交集所生成的子群。
• X' 的第一整同调群是 B/G 的第一整同调群模一个有限群的商。
• 对任意自然数 N，存在 G 的有限指数正规子群 G(N)，使得覆盖 B/G(N) → B/G 延拓至环形紧化空间，且在紧化除子上的分支指数大于 N。
• 在复维数 2 时，X' 的几何亏格恰好为 1。
• 若 X' 不是一般型，则其不规则性至多为 2，且当且仅当 X' 有理同构于阿贝尔曲面时，不规则性等于 2。
• 最小体积的无 torsion 曲面 X' 由其 Kodaira-Enriques 分类类型表征，且其尖点数有明确的上下界。