[论文解读] Non-Compact WZW Conformal Field Theories

Krzysztof Gawędzki|ArXiv.org|Oct 31, 1991

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 23被引用 46

一句话总结

本文研究了非紧致的WZW共形场论，特别是紧致李群 $H$ 的 $H^\mathbb{C}/H$ 模型，作为具有连续共形权重和发散模形式的非有理CFT。研究表明，通过规范非紧致阿贝尔子群（如 $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ 中的洛伦兹提升）可得到稳定且显式构造的共形sigma模型，其目标空间为欧几里得二维黑洞，并计算了其正则化环面模形式，通过齐次空间构造将其与诱导表示及幺正性联系起来。

ABSTRACT

We discuss non-compact WZW sigma models, especially the ones with symmetric space $H^{\bf C}/H$ as the target, for $H$ a compact Lie group. They offer examples of non-rational conformal field theories. We remind their relation to the compact WZW models but stress their distinctive features like the continuous spectrum of conformal weights, diverging partition functions and the presence of two types of operators analogous to the local and non-local insertions recently discussed in the Liouville theory. Gauging non-compact abelian subgroups of $H^{\bf C}$ leads to non-rational coset theories. In particular, gauging one-parameter boosts in the $SL(2,\bC)/SU(2)$ model gives an alternative, explicitly stable construction of a conformal sigma model with the euclidean 2D black hole target. We compute the (regularized) toroidal partition function and discuss the spectrum of the theory. A comparison is made with more standard approach based on the $U(1)$ coset of the $SU(1,1)$ WZW theory where stability is not evident but where unitarity becomes more transparent.

研究动机与目标

• 开发一个以欧几里得二维黑洞为目标的稳定、显式构造的共形场论，避免朴素非紧致WZW模型的不稳定性问题。
• 分析具有连续谱、发散模形式以及类似于Liouville理论中局部与非局部插入的两类算符的非有理CFT结构。
• 通过规范非紧致阿贝尔子群（特别是 $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ 中的提升）建立 $H^\mathbb{C}/H$ WZW 模型与 $SU(1,1)$ WZW 齐次空间理论之间的联系。
• 计算所得 $H^\mathbb{C}/H$ 模 $N$ 理论的正则化环面模形式，并将其与诱导表示的特征标联系起来。
• 比较 $SU(1,1)$ WZW 理论的轴向与矢量 $U(1)$ 齐次空间构造，评估其稳定性、幺正性及等价性。

提出的方法

• 使用自由场表示来构造并分析 $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ 模型，特别关注 $H^\mathbb{C}/H$ WZW 理论作为基本构建模块。
• 在 $H^\mathbb{C}$ 中对非紧致阿贝尔子群（如单参数提升）进行规范操作，生成新的非有理齐次空间理论，例如 $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ 模 $\mathbb{R}$。
• 通过在规范不变态上的迹计算正则化环面模形式，显式依赖于 $U(1)$ 电荷扇区与绕数模式。
• 依赖于诱导表示 $\hat{\cal D}$ 上的厄米结构，其中伴随关系满足 $J^{a}_{n}{}^{*} = -J^{a}_{-n}$ 与 $J^{3}_{n}{}^{*} = J^{3}_{-n}$，以确保幺正性与稳定性。
• 比较 $SU(1,1)$ WZW 理论的轴向与矢量 $U(1)$ 齐次空间构造，分析其谱、度量奇点与路径积分稳定性。
• 使用 $U(1)$ 电荷 $l\kappa$ 标记模形式中的绕数扇区，通过泡利线插入项计算非零电荷贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对具有 $H^\mathbb{C}/H$ 目标空间的非紧致WZW模型进行一致化量子化，以得到能量有界的稳定幺正CFT？
• RQ2 规范非紧致阿贝尔子群在构造稳定共形sigma模型（特别是欧几里得二维黑洞）中的作用是什么？
• RQ3 $H^\mathbb{C}/H$ WZW 模型及其齐次空间约化后的模形式如何与诱导表示的特征标及态的谱相关联？
• RQ4 在 $SU(1,1)$ WZW 理论中，轴向与矢量 $U(1)$ 齐次空间构造之间的关系是什么？尽管稳定性性质不同，它们是否产生等价的CFT？
• RQ5 $H^\mathbb{C}/H$ 模型中的算符内容与共形权重与有理CFT相比如何，特别是在连续谱与非局部插入方面？

主要发现

• 对 $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ 模型进行单参数提升的规范操作，可得到一个显式稳定的共形sigma模型，其目标空间为欧几里得二维黑洞，解决了朴素非紧致WZW模型的能量无界问题。
• 计算了 $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ 模 $\mathbb{R}$ 理论的正则化环面模形式，并表明其可表示为规范不变态上的迹，显式依赖于 $U(1)$ 电荷扇区与绕数模式。
• $H^\mathbb{C}/H$ WZW 模型通过厄米结构将共形块配对，与紧致 $H$ WZW 模型对偶，且具有3D规范场论（Chern-Simons理论）的解释。
• 在 $SU(1,1)$ WZW 理论中，轴向 $U(1)$ 齐次空间是稳定且幺正的，其模形式通过诱导表示 $\hat{\cal D}$ 计算；而矢量齐次空间则因度量奇点而存在不稳定性。
• 模形式中的绕数扇区由 $U(1)$ 电荷 $l\kappa$ 标记，通过泡利线插入项计算贡献，对应于自由场表示中满足 $m_l + m_r = l\kappa$ 的态。
• 轴向与矢量 $U(1)$ 齐次空间之间的对偶性尚未解决，尽管矢量理论缺乏稳定的路径积分，但两者可能共享相同的相互局部算符谱。