[论文解读] Non-conforming harmonic virtual element method: $h$- and $p$-versions

Lorenzo Mascotto, Ilaria Perugia+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 40被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于二维Dirichlet-Laplace问题的非 conforming harmonic 虚拟元方法（VEM），在多边形网格上利用调和基函数，实现了比标准VEM更快的收敛速度。该方法建立了准最优的 $h$-和 $p$-版本误差界，并在 $hp$-版本中展示了指数收敛性，数值实验验证了收敛率与自由度数的平方根一致。

ABSTRACT

We study the $h$- and $p$-versions of non-conforming harmonic virtual element methods (VEM) for the approximation of the Dirichlet-Laplace problem on a 2D polygonal domain, providing quasi-optimal error bounds. Harmonic VEM do not make use of internal degrees of freedom. This leads to a faster convergence, in terms of the number of degrees of freedom, as compared to standard VEM. Importantly, the technical tools used in our $p$-analysis can be employed as well in the analysis of more general non-conforming finite element methods and VEM. The theoretical results are validated in a series of numerical experiments. The $hp$-version of the method is numerically tested, demonstrating exponential convergence with rate given by the square root of the number of degrees of freedom.

研究动机与目标

• 开发一种非 conforming harmonic 虚拟元方法，通过消除内部自由度，实现比标准VEM更快的收敛速度。
• 分析该方法的 $h$-和 $p$-版本，提供在分段 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下的准最优误差界。
• 展示 $hp$-版本中的指数收敛性，其衰减速度优于标准FEM和VEM。
• 提供一个适用于非 conforming FEM 和 VEM 的通用 $p$-分析框架，将 harmonic VEM 的工具扩展至非调和情形。

提出的方法

• 该方法通过满足局部Laplace方程的调和函数构造局部虚拟元空间，避免显式计算基函数。
• 自由度通过解及其梯度在单元边界上的矩定义，从而实现对多项式空间的投影算子计算。
• 投影算子 $\Pi^\nabla_K$ 使用涉及Gram矩阵 $\boldsymbol{G}$ 和质量矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的矩阵形式，将虚拟元函数映射到多项式空间。
• 双线性形式通过矩阵 $\boldsymbol{\Pi}_*^T \widetilde{\boldsymbol{G}} \boldsymbol{\Pi}_* + (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{\Pi})^T \boldsymbol{S} (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{\Pi})$ 组装而成，其中 $\boldsymbol{S}$ 是基于边界积分的稳定化矩阵。
• 利用勒让德多项式正交性对稳定化矩阵 $\boldsymbol{S}$ 进行对角化，简化了高阶精度下的矩阵组装。
• 通过使用 $\mathbb{P}_{p-1}$-符合的迹，以矩条件弱形式施加Dirichlet边界条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过消除内部自由度，非 conforming harmonic VEM 是否能实现比标准VEM更快的收敛速度？
• RQ2 非 conforming harmonic VEM 的 $h$-和 $p$-版本在分段 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下的准最优误差界是什么？
• RQ3 $hp$-版本的该方法是否表现出指数收敛性？其收敛速率如何随自由度数变化？
• RQ4 为 harmonic VEM 开发的 $p$-分析工具能否扩展至非调和情形下的非 conforming FEM 和 VEM？

主要发现

• 该方法在分段 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下实现了准最优的 $h$-版本误差界，收敛速率取决于网格尺寸和多项式阶次。
• $p$-版本表现出指数收敛性，误差衰减速率与自由度数的平方根成正比。
• 数值实验验证了理论的 $hp$-收敛速率，显示出与理论预测一致的指数衰减。
• 由于勒让德多项式正交性，稳定化矩阵 $\boldsymbol{S}$ 被对角化，简化了高阶实现。
• $p$-分析框架可扩展至非调和非 conforming VEM，使未来对 [7] 中方法的分析可超越调和情形。
• 在高阶近似中，尤其在 $hp$-区域，该方法在收敛速度上优于标准FEM和VEM。