[论文解读] Non-constant genus 2 curves with pro-Galois covers

Claus Diem, Gerhard Frey|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 2

一句话总结

该论文构建了在奇素数特征 p 的域上具有非平凡族的亏格 2 曲线，这些曲线允许存在无限次数的几何连通纤维的 pro-Galois（pro-étale）覆盖。这些曲线的雅可比簇与椭圆曲线的乘积之间存在等价关系，展示了在正特征下，对于非平凡族也存在此类无限 pro-Galois 覆盖。

ABSTRACT

For every odd prime number p, we give examples of non-constant smooth families of genus 2 curves over fields of characteristic p which have pro-Galois (pro-étale) covers of infinite degree with geometrically connected fibers. The Jacobians of the curves are isomorphic to products of elliptic curves.

研究动机与目标

• 在奇素数特征 p 的域上构建非平凡光滑族的亏格 2 曲线。
• 为这类族证明存在无限次数、具有几何连通纤维的 pro-Galois（pro-étale）覆盖。
• 分析这些亏格 2 曲线的雅可比簇结构，表明其同构于椭圆曲线的乘积。
• 将对正特征下 pro-Galois 覆盖的理解从常数族扩展至更一般情形。

提出的方法

• 构造基于在奇素数特征 p 的域上定义的亏格 2 曲线族。
• 利用某些亏格 2 曲线的雅可比簇同构于椭圆曲线乘积的事实，从而利用椭圆曲线已知的覆盖性质。
• 通过有限 Galois 覆盖的逆极限构造 pro-Galois 覆盖，以保证无限次数和几何连通纤维。
• 该方法依赖于雅可比簇的椭圆曲线因子上存在无限 pro-Galois 覆盖，再通过雅可比分解将这些覆盖提升至亏格 2 曲线。
• 分析在 pro-étale 拓扑和正特征下几何连通性的背景下进行。
• 构造是非平凡的，意味着族在基域上变化，而非固定于一点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征 p 的域上，非平凡亏格 2 曲线族是否可以允许存在无限次数、具有几何连通纤维的 pro-Galois 覆盖？
• RQ2 亏格 2 曲线的雅可比簇需满足何种条件，才能在正特征下实现此类无限 pro-Galois 覆盖？
• RQ3 雅可比分解中椭圆曲线因子的性质如何影响无限 pro-Galois 覆盖的存在性？
• RQ4 当雅可比簇在正特征下与椭圆曲线乘积等价时，是否可能构造出此类覆盖？
• RQ5 非平凡亏格 2 曲线族是否允许存在不由常数族诱导的无限 pro-Galois 覆盖？

主要发现

• 对每个奇素数 p，存在在特征 p 的域上定义的非平凡光滑族，其亏格 2 曲线具有无限次数的 pro-Galois 覆盖。
• 这些覆盖是 pro-étale 的，且具有几何连通纤维，确保覆盖空间是几何不可约的。
• 这些族中亏格 2 曲线的雅可比簇同构于椭圆曲线的乘积，这为无限覆盖的构造提供了便利。
• 此类覆盖的存在性通过从雅可比簇的椭圆曲线因子上提升无限 pro-Galois 覆盖而建立。
• 该构造在正特征下有效，且不依赖于常数族，展示了算术几何中一类新的例子。
• 结果表明，非平凡族可以支持无限 pro-Galois 覆盖，从而将已知的常数情形结果推广至更广范围。