[论文解读] Non-contractible configuration spaces

Cesar A. Ipanaque Zapata|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过 Fadell-Neuwirth 纤维丛证明了，对于任意连通的有限维拓扑流形 $M$，当 $k \geq 2$ 时，有序配置空间 $F(M,k)$ 永远不是可缩的（或弱可缩的）。作为应用，本文计算了环路空间 $\Omega F(M,k)$ 和悬垂空间 $\Sigma F(M,k)$ 的 Lusternik-Schnirelmann 范畴与拓扑复杂度，表明在适当条件下，当 $k \geq 3$ 时，有 $TC(\Omega F(M,k)) = \infty$ 且 $TC(\Sigma F(M,k)) = 3$。

ABSTRACT

Let $F(M,k)$ be the configuration space of ordered $k-$tuples of distinct points in the manifold $M$. Using the Fadell-Neuwirth fibration, we prove that the configuration spaces $F(M,k)$ are never contractible, for $k\geq 2$. As applications of our results, we will calculate the LS category and topological complexity for its loop space and suspension.

研究动机与目标

• 确定在有限维流形 $M$ 上，当 $k \geq 2$ 时，配置空间 $F(M,k)$ 是否可缩。
• 利用 Fadell-Neuwirth 纤维丛与分类空间论证，证明 $F(M,k)$ 永远不是弱可缩的。
• 在特定拓扑条件下，计算 $\Omega F(M,k)$ 和 $\Sigma F(M,k)$ 的 Lusternik-Schnirelmann 范畴与拓扑复杂度。
• 解决如下猜想：当 $X$ 为道路连通、仿紧且有限维的空间，且 $k \geq 2$ 时，$F(X,k)$ 永远不是可缩的。

提出的方法

• 利用 Fadell-Neuwirth 纤维丛 $\pi_{k,r}: F(M,k) \to F(M,r)$ 及其纤维 $F(M \setminus Q_r, k-r)$ 来分析 $F(M,k)$ 的同伦类型。
• 反证法：若 $F(M,k)$ 可缩，则 $F(M,k)/S_k$ 将成为 $BS_k$ 的有限维模型，这对 $k \geq 2$ 是不可能的。
• 应用 Mayer-Vietoris 序列与上同调工具，分析 $\Sigma F(M,k)$ 和 $\Omega F(M,k)$ 的弱可缩性。
• 利用上同调中的上积长度来界定 Lusternik-Schnirelmann 范畴，特别是通过 $1 + \text{cup}_\mathbb{K}(X) \leq \text{cat}(X)$。
• 利用 $\Sigma X$ 在 Mayer-Vietoris 分解的两个开集内均是可缩的这一事实，推导出 $\text{cat}(\Sigma X) \leq 2$，并证明当 $X$ 不是弱可缩时，等号成立。
• 利用李群 $G$ 的乘积结构 $F(G,k) \simeq G \times F(G \setminus \{e\}, k-1)$ 推导出上积长度的界，并在 $TC(\Sigma F(G,k)) = 2$ 时导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限维连通拓扑流形 $M$ 上，当 $k \geq 2$ 时，配置空间 $F(M,k)$ 是否可缩？
• RQ2 Fadell-Neuwirth 纤维丛是否可在不假设 $M$ 有边界的条件下，用于证明 $F(M,k)$ 的非可缩性？
• RQ3 当 $M$ 是单连通且维数 $\geq 3$ 时，$\Sigma F(M,k)$ 的 Lusternik-Schnirelmann 范畴是多少？
• RQ4 当 $G$ 是单连通且维数 $\geq 3$ 的李群时，$\Sigma F(G,k)$ 的拓扑复杂度是多少？
• RQ5 $\Omega F(M,k)$ 的拓扑复杂度是否可能为无穷大？在何种条件下？

主要发现

• 对于任意连通的有限维拓扑流形 $M$ 和 $k \geq 2$，配置空间 $F(M,k)$ 不是弱可缩的，该结论通过 Fadell-Neuwirth 纤维丛与分类空间障碍得到证明。
• 当 $k \geq 2$ 时，带基点的环路空间 $\Omega F(M,k)$ 的拓扑复杂度为无穷大，表明在此空间上不存在连续的运动规划算法。
• 当 $G$ 是维数至少为 3 的单连通有限维李群，且 $k \geq 3$ 时，悬垂空间 $\Sigma F(G,k)$ 的拓扑复杂度恰好为 3。
• 对于任意维数至少为 3 的单连通有限维流形 $M$ 和 $k \geq 2$，$\Sigma F(M,k)$ 的 Lusternik-Schnirelmann 范畴恰好为 2，这是由于 $F(M,k)$ 不是弱可缩的。
• 当 $k \geq 3$ 时，$F(G \setminus \{e\}, k-1)$ 的上积长度至少为 1，结合 $G$ 的上积长度，若假设 $TC(\Sigma F(G,k)) = 2$ 将导致矛盾，从而证明 $TC = 3$。
• 悬垂空间 $\Sigma F(M,k)$ 满足 $\text{cat}(\Sigma F(M,k)) = 2$ 且 $2 \leq TC(\Sigma F(M,k)) \leq 3$，当 $k \geq 3$ 且 $M$ 满足适当条件时，上界可达。