[论文解读] Non cyclic functions in the Hardy space of the bidisc with arbitrary decrease

Xavier Massaneda, Pascal J. Thomas|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 3被引用 1

一句话总结

本文构造了在双圆盘的 Hardy 空间中的一种函数，其在边界附近衰减速度可任意缓慢——具体而言，对任意给定的权函数 v，满足 log|f(z)| ≥ −v(δ(z))，但该函数并非循环函数。通过使用 z₁z₂ 构造的奇异内函数，作者表明：在 H²(D²) 中，任何关于 |f| 的缓慢衰减条件均不足以保证循环性，这与 Bergman 空间中此类条件可推出循环性的结果形成鲜明对比。

ABSTRACT

We construct an example to show that no condition of slow decrease of the modulus of a function is sufficient to make it cyclic in the Hardy space of the bidisc. This is similar to what is well known in the case of the Hardy space of the disc, but in contrast to the case of the Bergman space of the disc.

研究动机与目标

• 证明在 H²(D²) 中，任何关于 |f| 的缓慢衰减条件均不足以保证循环性。
• 将已知的模基于循环性准则在单位圆盘的 Hardy 空间中不成立的结果，推广至双圆盘的 Hardy 空间。
• 对任意给定的权函数 v，构造一个 f ∈ H²(D²)，使得 log|f(z)| ≥ −v(δ(z))，且该函数保持非循环性。
• 表明在单位圆盘的 Bergman 空间中成立的循环性充分条件，并不适用于双圆盘的 Hardy 空间。

提出的方法

• 定义 δ(z) = max(1−|z₁|, 1−|z₂|)，用于度量到特殊边界的距离。
• 构造奇异内函数 f₀(ζ) = exp(−∫(e^{iθ}+ζ)/(e^{iθ}−ζ) dμᵥ(θ))，其中 μᵥ 满足 μᵥ(I) ≤ c₀|I|v(|I|)。
• 令 f(z₁,z₂) = f₀(z₁z₂)，利用不等式 1−|z₁z₂| ≤ 1−|z₁| + 1−|z₂|，可得 log|f(z)| ≥ −v(δ(z))。
• 利用 f₀ 在 H²(D) 中非循环，且 f ∈ H²(D²)（因其有界性与 ℓ² 系数可 summability）的事实。
• 通过变量替换（θ₁=θ, θ₂=θ+α）将循环性问题转化为圆周上的单变量问题。
• 通过反证法：假设 f 是循环的，则存在多项式 Pₙ → 1 在 L²(𝕋²) 中收敛，从而 qₖ(ζ) := Pₙₖ(ζ, e^{iα}ζ) 满足 ‖qₖgₐ − 1‖_{H²(D)} → 0，与 gₐ 为奇异内函数矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 H²(D²) 中，|f(z)| 的任何缓慢衰减条件是否都能保证循环性？
• RQ2 在单位圆盘的 Bergman 空间中成立的循环性充分条件，是否可推广至双圆盘的 Hardy 空间？
• RQ3 是否存在一个 f ∈ H²(D²)，其衰减速度任意缓慢（log|f(z)| ≥ −v(δ(z))），但仍为非循环函数？
• RQ4 对角限制法是否可用于排除此类函数的循环性？
• RQ5 H²(D²) 中基于模的准则的失效，是否与单变量情形类似？

主要发现

• 对于任意满足 v(t²) ≤ Cv(t) 且 ∫₀¹ v(t)²/(t(ln t)²) dt < ∞ 的权函数 v，存在 f ∈ H²(D²)，使得 log|f(z)| ≥ −v(δ(z))，且该函数非循环。
• 所构造的函数 f(z₁,z₂) = f₀(z₁z₂) 属于 H²(D²)，且由于 1−|z₁z₂| 的次可加性，满足所需的衰减条件。
• 函数 f₀(ζ) 是一个奇异内函数，满足 log|f₀(z)| ≥ −v(1−|z|)，因此在 H²(D) 中非循环。
• 若 f 在 H²(D²) 中是循环的，则其对角限制将意味着 f₀ 在 H²(D) 中是循环的，但这是错误的。
• 矛盾源于：假设循环性将导致一列多项式在复合 f₀(e^{iα}ζ²) 后收敛于 1 在 H²(D) 中，违反了奇异内函数的非循环性。
• 结果表明：在 H²(D²) 中，仅靠模的衰减条件无法确保循环性，这与 Bergman 空间中的情形形成鲜明对比。