[论文解读] Non-cyclic graph of a group

Aliréza Abdollahi, A. Mohammadi Hassanabadi|ArXiv.org|Aug 17, 2007

Finite Group Theory Research参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文引入了非局部循环群 G 的非循环图 Γ_G，其中顶点为非循环化元素（G ∖ Cyc(G)），边连接那些不生成循环子群的元素对。本文证明该非循环图始终连通且直径 ≤3，并证明对于具有平凡循环izer的有限幂零群，若非循环图同构，则群也同构。主要贡献在于提出一个猜想：非循环图唯一确定每个有限非交换单群。

ABSTRACT

We associate a graph $Γ_G$ to a non locally cyclic group $G$ (called the non-cyclic graph of $G$) as follows: take $G\backslash Cyc(G)$ as vertex set, where $Cyc(G)=\{x\in G | \left ext{is cyclic for all} y\in G\}$, and join two vertices if they do not generate a cyclic subgroup. We study the properties of this graph and we establish some graph theoretical properties (such as regularity) of this graph in terms of the group ones. We prove that the clique number of $Γ_G$ is finite if and only if $Γ_G$ has no infinite clique. We prove that if $G$ is a finite nilpotent group and $H$ is a group with $Γ_G\congΓ_H$ and $|Cyc(G)|=|Cyc(H)|=1$, then $H$ is a finite nilpotent group. We give some examples of groups $G$ whose non-cyclic graphs are ``unique'', i.e., if $Γ_G\cong Γ_H$ for some group $H$, then $G\cong H$. In view of these examples, we conjecture that every finite non-abelian simple group has a unique non-cyclic graph. Also we give some examples of finite non-cyclic groups $G$ with the property that if $Γ_G \cong Γ_H$ for some group $H$, then $|G|=|H|$. These suggest the question whether the latter property holds for all finite non-cyclic groups.

研究动机与目标

• 定义并研究非局部循环群 G 的非循环图 Γ_G，其中顶点为不属于 Cyc(G) 的元素，边连接那些不生成循环子群的元素对。
• 研究 Γ_G 的图论性质（如团数、正则性、独立数）与群论不变量之间的关系。
• 确定非循环图唯一确定群的条件，特别是对有限非交换单群而言。
• 探索 Γ_G 的同构不变量，并证明对于某些群类，若 Γ_G ≅ Γ_H，则必有 |G| = |H| 或 G ≅ H。

提出的方法

• 定义循环izer Cyc(G) = {x ∈ G | ⟨x,y⟩ 是循环群，对所有 y ∈ G}，并将 Γ_G 的顶点集设为 G ∖ Cyc(G)。
• 若 ⟨x,y⟩ 不是循环群，则在 Γ_G 中定义 x 与 y 之间存在边，使得图的结构依赖于非循环生成性质。
• 使用群论工具（如中心化子、循环izer、以及 Gruenberg-Kegel 图分析）来分析图的结构。
• 应用有限群论中的结果，包括有限单群分类定理及 p-群的性质，推导同构定理。
• 利用 |Cyc(G)| 整除 |G| − 1 和 |G| − p（对某些素数 p）的事实，在同构条件下推导出 |Cyc(G)| = 1。
• 利用关于具有不连通素数图的群的已知分类结果（如 Williams 和 Kondrat’ev 的工作）来分析同构不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有限群 G 的非循环图 Γ_G 由其图结构唯一确定，即 Γ_G ≅ Γ_H 蕴含 G ≅ H？
• RQ2 何时有限群的非循环图具有有限团数？哪些群论条件可保证这一点？
• RQ3 对于哪些有限群类（如幂零群、对称群、交错群、单群），Γ_G ≅ Γ_H 蕴含 |G| = |H|？
• RQ4 循环izer Cyc(G) 的结构与 Γ_G 的正则性或对称性之间存在何种关系？
• RQ5 每个有限非交换单群的非循环图是否唯一，即 Γ_G ≅ Γ_H 是否蕴含 G ≅ H？

主要发现

• 任何非局部循环群的非循环图 Γ_G 均连通，且直径至多为 3。
• Γ_G 的团数有限当且仅当 Γ_G 不含无限团。
• 若 G 是有限幂零群，且 H 是满足 Γ_G ≅ Γ_H 且 |Cyc(G)| = |Cyc(H)| = 1 的群，则 H 也是有限幂零群。
• 对于有限非交换单群，若 Γ_G ≅ Γ_H，则 |G| = |H|；在 Shi-Bi 猜想成立的前提下，有 G ≅ H；这引出了一个猜想：所有有限非交换单群的非循环图均唯一。
• 对于对称群 S_n（n > 2）和交错群 A_n（n > 3），若 Γ_G ≅ Γ_S_n，则 G ≅ S_n；若 Γ_G ≅ Γ_A_n，则 G ≅ A_n。
• 对于李型有限非交换单群 M 满足 s(M) ≥ 2（排除 B_n、C_n、D_n 在偶数 n 时），若 Γ_M ≅ Γ_G，则 G ≅ M，前提是这些群的 Shi-Bi 猜想成立。