[论文解读] Non-divergence Parabolic Equations of Second Order with Critical Drift in Lebesgue Spaces

Gong Chen|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文在抛物尺度不变条件下，于勒贝格空间中建立了临界漂移下二阶非散度型抛物方程的内部哈纳克不等式。它通过在漂移的可积性条件最小化的情况下使用增长定理和亚历山大洛夫-巴克尔曼-普奇型估计，将先前结果扩展至证明解的霍尔德连续性以及关联椭圆算子的普遍谱隙。

ABSTRACT

We consider uniformly parabolic equations and inequalities of second order in the non-divergence form with drift \[-u_{t}+Lu=-u_{t}+\sum_{ij}a_{ij}D_{ij}u+\sum b_{i}D_{i}u=0\,(\geq0,\,\leq0)\] in some domain $Q\subset \mathbb{R}^{n+1}$. We prove growth theorems and the interior Harnack inequality as the main results. In this paper, we will only assume the drift $b$ is in certain Lebesgue spaces which are critical under the parabolic scaling but not necessarily to be bounded. In the last section, some applications of the interior Harnack inequality are presented. In particular, we show there is a "universal" spectral gap for the associated elliptic operator. The counterpart for uniformly elliptic equations of second order in non-divergence form is shown in \cite{S10}.

研究动机与目标

• 在抛物尺度下，于临界勒贝格空间中建立非散度型抛物方程的内部哈纳克不等式，其漂移满足临界条件。
• 将二阶抛物方程的理论从有界或次临界漂移扩展至 $ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} = 1 $ 的临界情形。
• 在漂移 $ b \in L^p_x L^q_t $ 的最小可积性条件下，证明解的霍尔德连续性，且该条件满足临界尺度。
• 证明关联椭圆算子存在普遍谱隙，推广椭圆情形下的结果。
• 为萨福诺夫早期关于 $ b \in L^n $ 的非散度椭圆方程结果提供一个抛物对应结果。

提出的方法

• 使用兰迪斯以及费雷蒂-萨福诺夫的生长定理，控制解为正或负的集合的测度。
• 采用抛物尺度不变框架，假设 $ \|b\|_{L^p_x L^q_t} < \infty $ 且 $ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} = 1 $，以确保在抛物缩放下保持临界性。
• 应用改进的亚历山大洛夫-巴克尔曼-普奇-克里洛夫-策估计，以右端项的 $ L^n_x L^\infty_t $ 范数和漂移来控制次解的上确界。
• 基于 $ u_t $ 的符号对时间区间进行分解，利用积分恒等式控制解随时间的行为。
• 结合柯西-施瓦茨不等式与霍尔德不等式，使用精心选择的测试函数 $ g(\xi,h) = (|\xi|^n + \mu^n)^{-1} $，推导出超水平集测度的下界。
• 推导出涉及 $ \sup u $ 的对数估计，随后通过指数化得到以漂移和数据范数表示的最终 $ L^\infty $ 估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在抛物尺度下，当漂移 $ b $ 属于临界勒贝格空间时，是否可以建立非散度型抛物方程的内部哈纳克不等式？
• RQ2 在这样的临界漂移条件下，解的哪些正则性性质（如霍尔德连续性）可以保证？
• RQ3 在临界漂移情形下，与抛物方程关联的椭圆算子是否存在普遍谱隙？
• RQ4 生长定理与普奇型估计如何适应具有可测系数和临界漂移的非散度形式？
• RQ5 抛物尺度在保持漂移的 $ L^p_x L^q_t $ 范数临界性方面起什么作用？

主要发现

• 内部哈纳克不等式成立：$ \sup_{Q^0} u \leq N \inf_{Q_r} u $，其中 $ N = N(n, \nu, p, q, S) $，$ S = \|b\|_{L^p_x L^q_t} $，在临界尺度条件 $ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} = 1 $ 下成立。
• 解在内部具有霍尔德连续性，这是哈纳克不等式和漂移范数临界性的直接推论。
• 关联椭圆算子存在普遍谱隙，意味着在相同临界漂移条件下，第一特征值与具体系数无关地远离零。
• 亚历山大洛夫-巴克尔曼-普奇-克里洛夫-策估计被推广至具有临界漂移的抛物情形，得到 $ \sup_Q u \leq N r \|f\|_{L^n_x L^\infty_t} $，其中 $ N $ 依赖于 $ n, \nu, \|b\|_{L^n_x L^\infty_t} $。
• 证明依赖于时间区间的新型积分分解和精心选择的测试函数，以推导出超水平集测度的对数下界。
• 临界情形 $ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} = 1 $ 被证明是精确的：当 $ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} > 1 $ 时，可能存在不连续解；而当 $ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} < 1 $ 时，解是光滑的。