[论文解读] Non-emptiness of Brill-Noether loci in M(2,K)

Herbert Lange, P. E. Newstead+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 13

一句话总结

本文证明了在光滑复曲线 $C$ 上，当 $g \geq 3$ 时，模空间 $M(2,K)$ 中稳定秩-2向量丛（具有典范行列式）的布里尔-诺特簇 $B(2,K,k)$ 非空。通过海克对应 $H$，作者定义了一个基本类 $b_H(k)$，并证明 $B(2,K,k) \neq \emptyset$ 当且仅当 $b_H(k) \neq 0$，从而提供了一个计算准则，该准则在 $k \leq 7$ 时确认了对一般曲线的伯特曼-费恩伯格-穆凯猜想，并在显式 genus 上限下确认了对彼得里曲线的猜想。

ABSTRACT

Let C be a smooth projective complex curve of genus $g\geq2$. We investigate the Brill-Noether locus consisting of stable bundles of rank 2 and canonical determinant having at least $k$ independent sections. Using the Hecke correpondence we construct a fundamental class, which determines the non-emptiness of this locus at least when $C$ is a Petri curve. We prove that in many expected cases the Brill-Noether locus is non-empty. For some values of $k$ the result is best possible.

研究动机与目标

• 解决伯特曼-费恩伯格-穆凯猜想中关于稳定秩-2丛（具有典范行列式）在 $g \geq 3$ 的曲线上布里尔-诺特簇 $B(2,K,k)$ 非空性的第 (i) 部分。
• 通过海克对应 $H$ 建立非空性的计算准则，该方法避开了自然紧化 $\overline{M}(2,K)$ 的奇点。
• 证明当基本类 $b_H(k) \neq 0$ 时，$B(2,K,k) \neq \emptyset$，尤其适用于彼得里曲线与一般曲线。
• 将结果推广至模空间 $M(2,K(p))$，其中行列式为 $K(p)$，并证明非空性蕴含每个连通分支的维数至少为 $\beta(2,K,k)+1$。

提出的方法

• 将海克对应 $H$ 定义为 $M(2,K)$ 的光滑射影紧化，从而在 $H$ 中构造布里尔-诺特簇 $B_H(k)$ 的基本类 $b_H(k)$。
• 证明对于 $g \geq 3$ 的一般曲线，$B(2,K,k) \neq \emptyset$ 当且仅当 $b_H(k) \neq 0$，但 $g=k=4$ 除外。
• 利用已完全已知的 $H$ 的上同调，将 $b_H(k)$ 的非零性归约为模素数 $g$ 的二项式系数与阶乘的模形式计算。
• 当 $g$ 为素数时，通过分析和式 $M_0 + M_{(g-1)/2} + M_{g-1} \mod g$ 简化计算，其中 $M_j$ 是特定的二项式系数线性组合。
• 使用 Maple 中的符号计算，通过检查模素数 $g'_k$ 下一个矩阵行列式的非零性，验证 $10 \leq k \leq 24$ 时 $b_H(k) \neq 0$，其中 $g'_k$ 满足 $3g'_k - 3 \geq \frac{k(k+1)}{2}$。
• 通过投影 $\pi_1: H \to M(2,K(p))$ 将结果应用于 $M(2,K(p))$，证明若 $b_H(k) \neq 0$，则 $B(2,K(p),k) \neq \emptyset$，且每个连通分支的维数至少为 $\beta(2,K,k)+1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在稳定秩-2丛具有典范行列式的曲线上，布里尔-诺特簇 $B(2,K,k)$ 在 $M(2,K)$ 中非空的条件是什么？
• RQ2 布里尔-诺特簇 $B(2,K,k)$ 的非空性能否通过海克对应 $H$ 的上同调中的基本类来判定？
• RQ3 准则 $b_H(k) \neq 0$ 是否对所有彼得里曲线成立，而不仅限于一般曲线？
• RQ4 对于给定的 $k$，使得 $B(2,K,k) \neq \emptyset$ 成立的最小亏格 $g_k$ 是多少，特别是当 $g$ 为素数时？
• RQ5 在 $M(2,K(p))$ 中，$B(2,K(p),k)$ 的连通分支维数与预期维数 $\beta(2,K,k)$ 相比如何？

主要发现

• 对于 $g \geq 3$ 的一般曲线且 $k \leq 7$，当 $\beta(2,K,k) \geq 0$ 时，猜想 $B(2,K,k) \neq \emptyset$ 完全通过等价关系 $B(2,K,k) \neq \emptyset \iff b_H(k) \neq 0$ 得到证明。
• 对任意彼得里曲线，若 $g$ 为奇素数且 $g-1 \geq \max\left\{\frac{k(k-1)}{4}, 2k-1\right\}$，则 $B(2,K,k) \neq \emptyset$ 成立，该条件优于泰克西多的条件 $g \geq \frac{k^2}{4}$。
• 对于 $10 \leq k \leq 24$，通过 Maple 对满足 $3g'_k - 3 \geq \frac{k(k+1)}{2}$ 的最小素数 $g'_k$ 进行计算，验证了 $b_H(k) \neq 0$，从而推出此类曲线上 $B(2,K,k) \neq \emptyset$。
• 在 $M(2,K(p))$ 中，若 $b_H(k) \neq 0$，则 $B(2,K(p),k) \neq \emptyset$ 且每个连通分支的维数至少为 $\beta(2,K,k)+1$，严格大于预期维数。
• 对于 $g \geq 3$ 且 $k \geq 2$ 的一般曲线，$B(2,K(p),k)$ 的维数上界为 $\beta(2,K,k)+k$，表明实际维数与预期维数相差不大。
• 在某些情况下结果为最优：对于 $k=11,15,16,20,24$，所计算的 $g'_k$ 是满足 $3g'_k - 3 \geq \frac{k(k+1)}{2}$ 的最小整数，因此在这些情况下猜想已完全确认。