[论文解读] Non-equilibrium dynamics in Ising like models with biased initial condition

Reshmi Roy, Parongama Sen|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2021

Opinion Dynamics and Social Influence参考文献 31被引用 2

一句话总结

本文研究了在具有偏向初始条件的伊辛类模型中，非平衡零温格劳伯动力学，重点关注固定点稳定性与出站概率 E(x₀)。通过平均场和晶格模拟，发现当 z=2 时，由于磁化强度守恒，E(x₀) = x₀；而当协调数 z > 2 时，出站概率呈现非线性且与系统尺寸相关，其数据可统一缩放至一个通用标度函数 f(y) = [1 + tanh(λy)]/2，其中标度变量为 y = (x₀ − x_c)/x_c L^{1/ν}，揭示了不同模型与晶格类型下普遍存在的临界指数。

ABSTRACT

We investigate the dynamical fixed points of the zero temperature Glauber dynamics in Ising-like models. The stability analysis of the fixed points in the mean field calculation shows the existence of an exponent that depends on the coordination number $z$ in the Ising model. For the generalised voter model, a phase diagram is obtained based on this study. Numerical results for the Ising model for both the mean field case and short ranged models on lattices with different values of $z$ are also obtained. A related study is the behaviour of the exit probability $E(x_0)$, defined as the probability that a configuration ends up with all spins up starting with $x_0$ fraction of up spins. An interesting result is $E(x_0) = x_0$ in the mean field approximation when $z=2$, which is consistent with the conserved magnetisation in the system. For larger values of $z$, $E(x_0)$ shows the usual finite size dependent non linear behaviour both in the mean field model and in Ising model with nearest neighbour interaction on different two dimensional lattices. For such a behaviour, a data collapse of $E(x_0)$ is obtained using $y = \frac{(x_0 - x_c)}{x_c}L^{1/ u}$ as the scaling variable and $f(y)=\frac{1+ anh(\lambda y)}{2}$ appears as the scaling function. The universality of the exponent and the scaling factor is investigated.

研究动机与目标

• 分析具有偏向初始自旋分数的伊辛类模型在零温格劳伯动力学下的动力学固定点稳定性。
• 研究协调数 z 如何影响出站概率 E(x₀)，并探究磁化强度守恒是否在 z=2 之外依然成立。
• 通过标度变量 y = (x₀ − x_c)/x_c L^{1/ν} 和通用标度函数 f(y) = [1 + tanh(λy)]/2，推导并检验 E(x₀) 的有限尺寸标度形式。
• 建立临界指数 ν 和 λ 在平均场与短程相互作用模型在二维晶格上的普遍性。
• 通过平均场固定点稳定性分析，绘制广义投票者模型的相图。

提出的方法

• 在平均场近似下，基于协调数 z 推导自旋向上分数 x(t) 的主方程，使用基于 z 的自旋翻转概率。
• 从主方程计算时间演化 dx/dt，并识别出 z = 4 及以上时的固定点 x* = 0, 0.5, 1。
• 通过扰动 x = x* + δ(t) 进行固定点附近的线性稳定性分析，并评估漂移项导数的符号。
• 在正方和三角晶格以及平均场情形下，数值模拟伊辛-格劳伯模型，计算不同系统尺寸下的 E(x₀)。
• 通过引入标度变量 y = (x₀ − x_c)/x_c L^{1/ν} 应用有限尺寸标度，并使用函数形式 f(y) = [1 + tanh(λy)]/2 测试数据坍缩。
• 比较 z = 2, 4, 6 及不同晶格类型下提取的指数 ν 和 λ，以评估其普遍性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有协调数 z，出站概率 E(x₀) 是否保持线性（即 E(x₀) = x₀），还是在 z > 2 时变为非线性？
• RQ2 在平均场伊辛模型中，x* = 0.5 固定点的性质如何随 z 变化，其稳定性又如何依赖于 z？
• RQ3 是否能通过标度变量 y = (x₀ − x_c)/x_c L^{1/ν} 将不同 z 和晶格类型的 E(x₀) 有限尺寸标度数据统一坍缩至一个通用函数？
• RQ4 从标度坍缩中提取的临界指数 ν 和 λ 是否在平均场与短程模型之间具有普遍性？
• RQ5 广义投票者模型的相图如何从平均场框架下固定点稳定性分析中浮现？

主要发现

• 当 z = 2 时，平均场伊辛模型保持磁化强度守恒，导致 E(x₀) = x₀，与一维伊辛模型和投票者模型一致。
• 当 z > 2 时，x* = 0.5 固定点变得不稳定，表明出站概率行为发生非线性转变，并伴随有限尺寸效应。
• 在 z = 4 和 z = 6 的正方和三角晶格上，E(x₀) 的数值结果表现出显著的有限尺寸依赖性，且数据可统一坍缩至通用标度函数 f(y) = [1 + tanh(λy)]/2。
• 在平均场情形下，标度变量 y = (x₀ − x_c)/x_c L^{1/ν} 中的指数 ν′ 与 z 无关，但其值小于二维晶格所获得的值。
• 标度函数 f(y) = [1 + tanh(λy)]/2 成功地将不同 z 和晶格类型的数据显示出统一坍缩，表明该标度形式具有普遍性。
• 结果表明，在热力学极限下，当 z > 2 时，E(x₀) 趋近于阶跃函数，与 x* = 0.5 固定点的不稳定性一致。