[论文解读] Non Equilibrium Green's Functions for Dummies: Introduction to the One Particle NEGF equations

Magnus Paulsson|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2002

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用 37

一句话总结

本教程论文对偏置下纳米尺度导体中电流和电荷密度的计算，提供了清晰且直观的一粒子非平衡格林函数（NEGF）方程推导。它解释了接触引起的自能如何修改器件格林函数，进而通过实时间格林函数和能级展宽算符导出电流的兰道尔公式。

ABSTRACT

Non equilibrium Green's function methods are regularly used to calculate current and charge densities in nanoscale (both molecular and semiconductor) conductors under bias. This method is mainly used for ballistic conduction but may be extended to include inelastic scattering. In this tutorial paper the NEGF equations for the current and charge density matrix are derived and explained in a hopefully clear way.

研究动机与目标

• 为分子和半导体纳米电子学领域的研究人员提供一种易于理解、直观的非平衡格林函数（NEGF）入门介绍。
• 以逐步推导的方式导出电流和电荷密度矩阵的NEGF方程，强调物理直观而非形式推导。
• 展示如何通过实时间格林函数和接触自能来计算输运性质，而无需求解完整的多体问题。
• 将该形式与兰道尔公式联系起来，建立NEGF与标准输运理论之间的桥梁。

提出的方法

• 采用具有三部分哈密顿量的离散薛定谔方程：接触（1,2）、器件（d）和耦合项（τ₁, τ₂）。
• 通过 (E - H)G = I 定义全格林函数 G，并推导出器件格林函数的杜辛方程：G_d = (E - H_d - Σ₁ - Σ₂)^{-1}。
• 引入自能 Σ_j = τ_j^† g_j τ_j，其中 g_j 为孤立接触的格林函数，以描述接触对器件的影响。
• 通过连续性方程和算符恒等式，从密度矩阵的时间演化推导出概率电流。
• 将接触 j 到器件的电流表达为 i_j = -ie/ℏ (⟨ψ_j|τ_j|ψ_d⟩ - ⟨ψ_d|τ_j^†|ψ_j⟩)，从而导出兰道尔公式。
• 对能量和费米分布 f(E, μ) 进行积分，得到总电流：I = (e/πℏ)∫dE (f(μ₁) - f(μ₂)) Tr(G_d^† Γ₂ G_d Γ₁)。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对纳米尺度系统中的一粒子输运，直观地推导和解释非平衡格林函数形式？
• RQ2 实时间格林函数和自能在建模接触对量子器件影响方面起什么物理作用？
• RQ3 纳米尺度导体中的电流如何从格林函数和耦合矩阵中产生？
• RQ4 如何通过实时间格林函数和能级展宽，从NEGF框架推导出兰道尔公式？
• RQ5 在多端系统中，概率电流与格林函数矩阵元之间有何联系？

主要发现

• 器件格林函数通过杜辛方程获得：G_d = (E - H_d - Σ₁ - Σ₂)^{-1}，其中自能 Σ_j = τ_j^† g_j τ_j 编码了接触效应。
• 接触 j 到器件的电流为 i_j = (e/ℏ)⟨ψ_j|τ_j G_d^† Γ_j G_d τ_j^† |ψ_j⟩，其中 Γ_j = i( g_j - g_j^† ) 表示能级展宽。
• 总电流推导为 I = (e/πℏ)∫dE (f(μ₁) - f(μ₂)) Tr(G_d^† Γ₂ G_d Γ₁)，与标准兰道尔公式一致。
• 该形式允许在不求解完整多体本征值问题的情况下，计算电流和电荷密度，仅通过实时间格林函数实现。
• 推导表明，电流源于入射波与出射波之间的干涉，格林函数编码了散射和透射特性。
• 使用实时间格林函数可确保因果性，并对应于端口中的出射波，这对物理输运计算至关重要。