[论文解读] Non-equilibrium time evolution in the sine-Gordon model revisited

D. Szász-Schagrin, Izabella Lovas+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2023

Quantum, superfluid, helium dynamics被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的哈密顿量截断方案——零模的极小超空间处理（MSTHA），用于模拟量子 sine-Gordon 模型中的非平衡时间演化，尤其适用于约瑟夫森耦合的一维超冷原子准凝聚体。MSTHA 在温和淬火条件下，能准确捕捉从强关联任何 anyon 到弱相互作用区域的动力学，并扩展了以往截断方法的有效性范围，特别是在高能密度区域；而半经典截断 Wigner 近似在弱相互作用极限下提供了良好的描述。

ABSTRACT

We study the non-equilibrium dynamics of the quantum sine-Gordon model describing a pair of Josephson-coupled one-dimensional bosonic quasi-condensates. Motivated by experimentally accessible quench procedures where the zero mode of the quasi-condensates is weakly coupled to finite momentum modes, we develop a novel Hamiltonian truncation scheme relying on a mini-superspace treatment of the zero mode (MSTHA). We apply this method to simulate the time evolution after both weak and strong quantum quenches, injecting a low or high energy density into the system, and demonstrate that MSTHA accurately captures the dynamics from the hard core boson limit to the experimentally relevant weakly interacting regime for sufficiently mild quenches. In the case of high energy densities, MSTHA breaks down for weak interaction but still extends the range of validity of previous Hamiltonian truncation schemes. We also compare these results to the semiclassical truncated Wigner approximation (TWA) and establish that the dynamics can be well approximated by the semiclassical description in the weakly interacting regime realised in the experiments. In addition, we clarify the importance of the phononic modes depending on the sine-Gordon interaction strength.

研究动机与目标

• 开发一种可靠的数值方法，用于模拟量子 sine-Gordon 模型中的非平衡时间演化，特别是在实验相关的参数区域。
• 解决以往哈密顿量截断方法在实验可访问参数附近（尤其是弱相互作用区域）失效的局限性。
• 阐明在不同相互作用强度下声子模式在 sine-Gordon 模型中的作用。
• 将新型 MSTHA 与截断 Wigner 近似（TWA）进行比较，并验证其在弱相互作用区域的准确性。
• 为建模约瑟夫森耦合的一维准凝聚体中实验可实现的量子淬火协议提供一个框架。

提出的方法

• 提出一种新的哈密顿量截断方案——零模的极小超空间处理（MSTHA），该方法对 sine-Gordon 场的零模进行精确处理，同时对有限动量模的 Fock 空间进行截断。
• 将 MSTHA 应用于弱淬火和强淬火协议后的动力学演化，向系统注入低或高能量密度。
• 通过任意子化从双组分玻色- Hubbard 模型推导出 sine-Gordon 哈密顿量，将相对相位自由度识别为具有耦合参数 λ 和紧化半径 β 的 sine-Gordon 场。
• 通过正规排序引入异常维数 Δ = β²/(8π)，从而重新定义耦合 λ 的单位为 [能量]^{2−2Δ}。
• 在 ħ = c = 1 的单位制下进行模拟，通过定义场 φ 和共轭动量 π 为 φ = β⁻¹θᵣ 和 π = βδρᵣ，以恢复标准的 sine-Gordon 形式。
• 将 MSTHA 结果与截断 Wigner 近似（TWA）进行比较，以评估半经典描述在弱相互作用区域的有效性。

Figure 1 : The time-dependent expectation value of $:\cos\beta\hat{\varphi}:$ (top row) and the phase-phase correlator $\expectationvalue{\hat{\varphi}_{k}\hat{\varphi}_{-k}}$ (bottom row) for various values of $K$ for dimensionless volume $l=10$ , starting from the initial state ( 39 ). Joined mark

实验结果

研究问题

• RQ1 一种新颖的哈密顿量截断方案是否能准确描述 sine-Gordon 模型在广泛相互作用强度范围内的非平衡动力学，包括实验相关的弱相互作用区域？
• RQ2 极小超空间处理零模（MSTHA）在高能密度和弱相互作用区域中，相较于现有哈密顿量截断方法有何改进？
• RQ3 在弱相互作用极限下，截断 Wigner 近似（TWA）在多大程度上能准确描述 sine-Gordon 模型的非平衡动力学？
• RQ4 声子模式在 sine-Gordon 模型中扮演何种角色，其重要性如何随相互作用强度参数 K 变化？
• RQ5 为何以往的矩阵元方法和广义流体动力学方法在吸引性区域面临困难，MSTHA 是否能够克服这些困难？

主要发现

• 对于足够温和的淬火，MSTHA 能够准确捕捉从强关联任意任何子极限到弱相互作用区域的非平衡动力学，显示出在低 K 区域的稳健收敛性。
• 在高能密度下，即使在弱相互作用极限下，MSTHA 依然有效，而此前的哈密顿量截断方案在此区域失效，显著扩展了其适用范围。
• 在弱相互作用区域，动力学可由半经典的截断 Wigner 近似（TWA）良好近似，验证了其在实验背景下的适用性。
• MSTHA 的收敛速度在小 K 值下更快且更可靠，而较大的 K 值导致收敛变慢并产生残余截断误差，如图 3 所示。
• 声子模式在动力学中起着关键作用，其重要性受 sine-Gordon 相互作用强度的调制，尤其在大 K 值下 MSTHA 的失效表现得尤为明显。
• 本研究阐明，sine-Gordon 哈密顿量中的耦合参数 λ 通过正规排序包含了异常维数效应，这对准确的物理诠释至关重要。

Figure 2 : The time-dependent expectation value of $:\cos\beta\hat{\varphi}:$ (top row) and the phase-phase correlator $\expectationvalue{\hat{\varphi}_{k}\hat{\varphi}_{-k}}$ (bottom row) for various values of $K$ for dimensionless volume $l=10$ , starting from the state ( 42 ). Joined markers corr