[论文解读] Non-ergodic Z-periodic billiards and infinite translation surfaces

Krzysztof Frączek, Corinna Ulcigrai|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 15

一句话总结

本文建立了无限 $ζ$-周期性台球和叶状覆盖的非遍历性准则，证明了对于参数的全测度集合及有理参数，方向流是非遍历的，并具有不可数无穷多个遍历分量。该方法基于通过庞加莱映射和同调类分析区间交换变换上的非正则 $ζ$-取值上链。

ABSTRACT

We give a criterion which allows to prove non-ergodicity for certain infinite periodic billiards and directional flows on Z-periodic translation surfaces. Our criterion applies in particular to a billiard in an infinite band with periodically spaced vertical barriers and to the Ehrenfest wind-tree model, which is a planar billiard with a $Z^2$-periodic array of rectangular obstacles. We prove that, in these two examples, both for a full measure set of parameters of the billiard tables and for tables with rational parameters, for almost every direction the corresponding billiard flow is not ergodic and has uncountably many ergodic components. As another application, we show that for any recurrent Z-cover of a square tiled surface of genus two the directional flow is not ergodic and has no invariant sets of finite measure for a full measure set of directions. In the language of essential values, we prove that the skew-products which arise as Poincare' maps of the above systems are associated to non-regular Z-valued cocycles for interval exchange transformations.

研究动机与目标

• 为无限 $ζ$-周期性台球和叶状覆盖的非遍历性建立一个判别准则。
• 解决在具有无限不变测度的无限叶状覆盖中遍历性质理解不足的问题。
• 证明某些著名模型（如风树模型和带状区域中带缝的周期性台球）在几乎所有方向上均非遍历。
• 确立此类系统中存在不可数无穷多个遍历分量。
• 将非遍历性与方向流庞加莱映射所导出的非正则 $ζ$-取值上链联系起来。

提出的方法

• 基于区间交换变换上的 $ζ$-取值上链的非正则性，提出一个一般性判别准则（定理 6.1）。
• 将该准则应用于具体系统：在无限带状区域中具有周期性排列垂直缝的台球，以及 $ζ^2$-周期性埃亨弗雷斯特风树模型。
• 利用曲面上闭曲线的同调类分析庞加莱映射，并将其与流的行为联系起来。
• 运用斯托克斯定理，对平坦度量中矩形上微分形式的时间积分差异进行有界。
• 分析 $ζ$-上链 $F^{v}_{f}$ 的行为，并通过反证法证明其不能是上边界，使用转移函数的测度论估计。
• 依赖于测度的 KZ-双曲性及稳定空间 $E_{\omega}^{-}(M,\mathbb{R})$，若上链为正则，则导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$ζ$-周期性无限叶状覆盖上的方向流是非遍历的？
• RQ2 能否严格证明风树模型和带状区域中周期性台球在全测度参数集合上的非遍历性？
• RQ3 此类非遍历系统中的遍历分解结构如何——具体而言，是否允许存在不可数无穷多个遍历分量？
• RQ4 区间交换变换上的 $ζ$-取值上链的非正则性如何与相关斜积系统的遍历性质相关？
• RQ5 方向流在 $ζ$-覆盖上的庞加莱映射在多大程度上不规则？这对其底层动力学意味着什么？

主要发现

• 对于具有周期性排列垂直缝（缝长 $l \in (0,1)$）的无限带状台球，几乎所有方向下方向流均非遍历，并具有不可数无穷多个遍历分量，且对所有有理 $l$ 成立。
• $ζ^2$-周期性矩形障碍物的埃亨弗雷斯特风树模型表现出非遍历方向流，且在全测度参数集合及有理参数下具有不可数无穷多个遍历分量。
• 对于任意具有环状性质的 genus two 方格叶状覆盖，方向流是非遍历的，且对全测度方向集合，不存在有限测度的不变集。
• 所研究系统的庞加莱映射是与区间交换变换上的非正则 $ζ$-取值上链相关的斜积。
• 与流相关的上链 $F^{v}_{f}$ 不能是上边界，该结论通过反证法证明，使用了测度论估计及稳定空间 $E_{\omega}^{-}(M,\mathbb{R})$ 的非零性。
• 证明在正则性假设下有 $\liminf_{t\to\infty} \|\rho\|_{G_{t}\omega} < \infty$，与测度的 KZ-双曲性矛盾，从而证明了非正则性。