[论文解读] Non-Euclidean Contraction Theory via Semi-Inner Products.

A. S. Davydov, Saber Jafarpour+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2021

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 48被引用 4

一句话总结

本文引入弱半内积（WSIPs）以将收缩理论扩展至非欧几里得范数，如 ℓ₁ 和 ℓ∞，提供了五种收缩的等价刻画，包括单边利普希茨条件和广义德米多维奇准则。该理论建立了收缩系统的增量稳定性和输入-状态特性，实现了对互联系统的层次化分析。

ABSTRACT

In this paper, we study necessary and sufficient conditions for contraction and incremental stability of dynamical systems with respect to non-Euclidean norms. First, generalizing Lumer semi-inner products, we introduce weak semi-inner products (WSIPs), and characterize their properties. We introduce and study the sign and max WSIPs for the $\ell_{1}$ and $\ell_{\infty}$ norms, respectively. Using WSIPs, we then establish five equivalent characterizations for contraction, including one-sided Lipschitz continuity of the vector field as well as matrix measure and generalized Demidovich conditions for the corresponding Jacobian. Third, we extend our contraction framework in two directions: we prove equivalences for contraction of continuous vector fields and we formalize the weaker notion of equilibrium contraction, which ensures exponential convergence to a given equilibrium. Finally, as an application of the general theory, we provide (i) incremental input-to-state stability and finite input-state gain properties for contracting systems, and (ii) a hierarchical analysis approach to establish contraction properties for interconnected systems.

研究动机与目标

• 开发适用于非欧几里得范数（如 ℓ₁ 和 ℓ∞）的收缩理论框架，超越标准欧几里得设定。
• 通过引入具有良好刻画性质的弱半内积（WSIPs），推广卢默半内积。
• 建立收缩的等价条件，包括向量场的单边利普希茨连续性以及雅可比矩阵的矩阵测度相关准则。
• 形式化平衡点收缩，确保对给定平衡点的指数收敛性，并将结果扩展至连续向量场。
• 将该框架应用于证明收缩系统的增量输入-状态稳定性及有限输入-状态增益，并实现对互联系统的层次化分析。

提出的方法

• 引入弱半内积（WSIPs）作为卢默半内积的推广，专用于非欧几里得范数。
• 分别针对 ℓ₁ 和 ℓ∞ 范数，定义并分析符号型和最大型 WSIPs，以捕捉非光滑情形下的方向导数。
• 推导出收缩的五种等价刻画，包括向量场的单边利普希茨条件以及雅可比矩阵的广义德米多维奇条件。
• 在新的 WSIP 框架下，建立收缩与对平衡点的指数收敛之间的等价性。
• 将理论扩展至连续向量场，并将平衡点收缩定义为一种更弱但充分的稳定性条件。
• 将该框架应用于证明收缩系统在非欧几里得范数下的增量输入-状态稳定性和有限输入-状态增益，并开发一种用于互联系统的层次化分析方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℓ₁ 和 ℓ∞ 等非欧几里得范数下，何种条件可确保动力系统的收缩性？
• RQ2 如何对半内积进行推广，以实现超越欧几里得几何的收缩性分析？
• RQ3 在非欧几里得范数下，收缩的等价刻画在向量场性质和雅可比矩阵条件方面如何表述？
• RQ4 能否形式化定义并刻画平衡点收缩，以确保对特定平衡点的指数收敛？
• RQ5 该理论如何扩展至互联系统，并用于建立具有有限增益的输入-状态稳定性？

主要发现

• 引入弱半内积（WSIPs）使得对非欧几里得范数（包括 ℓ₁ 和 ℓ∞）的收缩性分析得以严格化。
• 建立了五种收缩的等价条件，包括向量场的单边利普希茨连续性以及雅可比矩阵的广义德米多维奇条件。
• 将平衡点收缩形式化为一种更弱但充分的条件，以确保对给定平衡点的指数收敛，从而扩展了收缩理论的适用范围。
• 该框架证明了在非欧几里得范数下，收缩系统具有增量输入-状态稳定性和有限输入-状态增益。
• 开发了一种层次化分析方法，利用所提出的基于 WSIP 的准则验证互联系统的收缩性。
• 该理论已扩展至连续向量场，拓宽了其在非光滑系统中的适用性。