[论文解读] Non-Euclidean method of the generalized geometry construction and its application to space-time geometry

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Feb 19, 2007

Relativity and Gravitational Theory参考文献 4被引用 14

一句话总结

本文提出了一种非欧几里得方法，通过世界函数的形变来构建广义几何，从而实现多变量时空几何的构造。其核心贡献在于通过一个与普朗克常数相关的形变参数，将量子现象（如粒子质量与动量）与几何性质相联系，从而在非黎曼框架下为量子行为提供了几何基础。

ABSTRACT

Non-Euclidean method of the generalized geometry construction is considered. According to this approach any generalized geometry is obtained as a result of deformation of the proper Euclidean geometry. The method may be applied for construction of space-time geometries. Uniform isotropic space-time geometry other, than that of Minkowski, is considered as an example. The problem of the geometrical objects existence and their temporal evolution may be considered in the constructed space-time geometry. Such a statement of the problem is impossible in the framework of the Riemannian space-time geometry. Existence and dynamics of microparticles is considered to be conditioned by existence of corresponding geometrical objects and their temporal evolution in the space-time. Geometrization of the particle mass and its momentum is produced.

研究动机与目标

• 开发一种独立于坐标系和公理体系的广义几何构造方法。
• 通过世界函数对欧几里得几何进行形变，将时空几何重新表述为一种变形的欧几里得几何，以实现多值性。
• 通过时空结构的几何方式解释量子现象（如粒子质量与动量）。
• 将几何对象的存在与动力学视为粒子物理学的基本要素，而非动力学力。
• 通过将随机粒子系综的作用量与特定的世界函数形变相联系，为量子力学提供几何基础。

提出的方法

• 该方法通过世界函数 σ(P,Q) 对恰当的欧几里得几何进行形变，从而构造所有广义几何，该函数定义了点之间的距离。
• 世界函数 σ 作为唯一的几何不变量被使用，取代传统的公理与坐标系，且满足 σ(P,Q) = σ(Q,P)，σ(P,P) = 0。
• 通过 σ(P,Q) = ½ρ²(P,Q) 从世界函数推导出标量积与向量长度，从而在不显式使用坐标的情况下建立向量空间结构。
• 该方法引入了多值性：两点之间可存在多条测地线，这一特性在黎曼几何中不存在，但对量子行为至关重要。
• 将世界函数中的形变 d = λ₀² 设为 d = ħ/(2bc)，从而通过普朗克常数与一个几何质量参数 b 将几何与量子力学相联系。
• 从几何角度推导出随机粒子系综的作用量，导出的流体力学方程在无旋情况下等价于薛定谔方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖坐标系或公理体系分离的前提下，系统地构造广义几何？
• RQ2 时空几何中的多值性如何解释诸如粒子质量与动量等量子现象？
• RQ3 在形变的世界函数背景下，薛定谔方程的几何起源是什么？
• RQ4 能否仅从几何原理出发推导出粒子统计系综的动力学？
• RQ5 粒子的质量与动量能否被理解为时空中相应几何物体的几何不变量？

主要发现

• 世界函数 σ(P,Q) 完全决定了几何结构，从而无需依赖坐标系或公理一致性检验。
• 多值性在形变几何中自然出现，并被识别为量子行为（如粒子轨迹的不确定性）的几何起源。
• 世界函数中形变参数 d = λ₀² = ħ/(2bc) 将几何结构与量子力学相联系，其中 b 为关联几何质量与物理质量的常数。
• 随机粒子系综的作用量导出的流体力学方程在无旋情况下等价于薛定谔方程。
• 粒子的质量与动量被证明是粒子世界线的几何特征，而非动力学属性。
• 粒子物理学中的禁闭问题被重新解释为时空中复杂几何物体的存在性问题，而非基于力的动力学问题。