[论文解读] Non-euclidean shadows of classical projective theorems

Rubén Vigara|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2014

Mathematics and Applications被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于凯利-克莱因模型的射影框架，揭示了经典射影定理在非欧几何中的解释，表明诸如高线共点性及双曲与椭圆几何中的广义三角形中心等结果，可作为单一射影定理在不同几何中的'投影'。该文提出了一种修正的拉格勒公式以计算射线夹角，并确立了欧拉-维尔德伯格线作为欧拉线在非欧几何中的类比，其在双曲、椭圆及欧几里得几何中均成立，基于圆锥曲线上交比的不变性。

ABSTRACT

Some translations into non-euclidean geometry of classical theorems of planar projective geometry are explored. The existence of some common triangle centers is dedeuced from theorems of Pascal and Chasles. Desargues' Theorem allows to construct a non-euclidean version of the Euler line and the nine-point circle of a triangle. The whole non-euclidean trigonometry (for triangles and generalizaed triangles) can be deduced from Menelaus' Theorem. A theorem of Carnot about affine triangles implies the non-euclidean versions of another theorem of Carnot about euclidean triangles. Finally, it is given the projective theorem which is hidden behind all the laws of cosines of non-euclidean triangles and generalized triangles.

研究动机与目标

• 通过利用凯利-克莱因模型，统一射影几何对欧几里得、双曲与椭圆几何的处理方法。
• 证明关于三角形与圆锥曲线的经典射影定理，可在不同几何中作为'影子'产生多个非欧几里得定理。
• 通过射影不变量与关于绝对二次曲线的对偶性，重新定义非欧几里得环境下的关键三角形中心与欧拉线。
• 提出一种射影公式以区分锐角与钝角，用于计算射线之间的夹角，修正经典拉格勒公式之局限。

提出的方法

• 利用凯利-克莱因模型将双曲与椭圆几何表示为测地线为直线的射影模型，从而可视化关联性质。
• 通过涉及绝对二次曲线Φ的修正拉格勒公式，利用圆锥曲线上交比的不变性来定义射线之间的夹角。
• 运用施泰纳定理与射影对偶性，将圆锥曲线上四点的交比定义为从曲线上某固定点引出的四条直线的交比。
• 引入'广义三角形'的概念，即射影三角形与其关于绝对二次曲线Φ的对偶三角形的交点。
• 从射影不变量与广义三角形中的中点结构出发，推导出非欧几里得的正弦与余弦定律。
• 提出欧拉-维尔德伯格线作为欧拉线在非欧几里得几何中的类比，通过射影语言中的垂心、外心与伪重心定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典射影定理关于三角形与圆锥曲线，如何在双曲与椭圆几何中解释为非欧几里得定理？
• RQ2 球面与双曲三角形中高线共点性的背后，存在哪些射影不变量？
• RQ3 如何利用绝对二次曲线上的射影交比，一致地测量非欧几里得几何中射线之间的夹角？
• RQ4 欧拉线与九点圆的非欧几里得类比是什么？其如何通过射影几何定义？
• RQ5 广义三角形（如直角六边形、兰伯特定理四边形）如何从射影定理继承三角函数定律？

主要发现

• 查尔斯的对偶三角形定理产生三个不同的非欧几里得结果：球面三角形中高线的共点性，以及双曲三角形中三种可能的共点性或平行性类型。
• 修正的拉格勒公式（A.1）可计算射线之间的夹角，取值范围为[0, 2π)，并通过公式（A.2）余弦值的正负来区分锐角与钝角。
• 欧拉-维尔德伯格线（定义为垂心轴）作为欧拉线的非欧几里得类比，在该直线上，垂心、伪外心与伪重心共线。
• 九点圆锥曲线是非欧几里得中九点圆的类比，它通过广义三角形的边中点、高线垂足以及从垂心到顶点线段的中点。
• 广义三角形（如双曲直角六边形）满足由射影不变量与中点结构推导出的非欧几里得正弦与余弦定律。
• 圆锥曲线上四点的交比在从曲线上任意点投影时保持不变，从而在不同几何中实现三角不变量的一致定义。