[论文解读] Non-existence of universal $R$-matrix for some C$^{*}$-bialgebras

Katsunori Kawamura|ArXiv.org|Dec 18, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文证明了某些C*-双代数（包括配备非余交换余乘法$\Delta_\varphi$的Cuntz代数$\mathcal{O}_*$的直和）不存在普遍R-矩阵。通过证明在$\Delta_\varphi$与$\Delta_\varphi^{\text{op}}$下，$\mathcal{O}_*$的非退化表示的张量积不酉等价，作者表明普遍R-矩阵所需的交织条件不成立，从而证明这些C*-双代数中不存在此类R-矩阵。

ABSTRACT

For a C$^{*}$-bialgebra $A$ with a comultiplication $Δ$, a universal $R$-matrix of $(A,Δ)$ is defined as a unitary element in the multiplier algebra $M(A\otimes A)$ of $A\otimes A$ which is an intertwiner between $Δ$ and its opposite comultiplication $Δ^{op}$. We show that there exists no universal $R$-matrix for some C$^{*}$-bialgebras.

研究动机与目标

• 为C*-双代数定义普遍R-矩阵，将纯代数意义上的概念推广至非单位元、非双代数结构的非单位元情形。
• 研究C*-双代数$(\mathcal{O}_*, \Delta_\varphi)$——即配备非余交换余乘法的Cuntz代数的直和——是否允许存在普遍R-矩阵。
• 基于C*-双代数的表示理论，建立普遍R-矩阵非存在性的判别准则。
• 将结果推广至更广泛的C*-双代数类，如所有Cuntz-Krieger代数$\mathsf{CK}_*$的直和。

提出的方法

• 将C*-双代数$(A, \Delta)$的普遍R-矩阵定义为$M(A \otimes A)$中的酉元$R$，满足对所有$x \in A$有$R \Delta(x) R^* = \Delta^{\text{op}}(x)$，将代数量子群的概念推广至非单位元情形。
• 在$M(A \otimes A)$上引入扩展的对换映射$\tilde{\tau}_{A,A}$，以定义对偶余乘法$\Delta^{\text{op}}$。
• 证明引理2.1：若C*-双代数是拟余交换的（即存在普遍R-矩阵），则对任意两个非退化表示$\pi_1, \pi_2$，表示$(\pi_1 \otimes \pi_2) \circ \Delta$与$(\pi_2 \otimes \pi_1) \circ \Delta$是酉等价的。
• 使用引理2.1的逆否命题：若此类张量积表示不酉等价，则普遍R-矩阵不存在。
• 将此判别准则应用于$\mathcal{O}_*$与$\Delta_\varphi$，利用文献[8]中的已知例子，表明对某些$\mathcal{O}_2$的单位表示$\pi_1, \pi_2$，有$(\pi_1 \otimes \pi_2) \circ \Delta_\varphi|_{\mathcal{O}_4}$与$(\pi_2 \otimes \pi_1) \circ \Delta_\varphi|_{\mathcal{O}_4}$不酉等价。
• 通过证明$\mathsf{CK}_*$（所有与非退化$\{0,1\}$-矩阵相关的Cuntz-Krieger代数的直和）包含$\mathcal{O}_*$作为子双代数并继承其非拟余交换性，将结果扩展至$\mathsf{CK}_*$。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管余乘法非余交换，C*-双代数$(\mathcal{O}_*, \Delta_\varphi)$是否仍允许存在普遍R-矩阵？
• RQ2 普遍R-矩阵的概念能否在非单位元且非纯代数意义下的双代数中合理推广？
• RQ3 是否存在表示理论障碍，导致C*-双代数中普遍R-矩阵无法存在？
• RQ4 在$\mathcal{O}_*$中普遍R-矩阵的非存在性是否可推广至包含其作为子双代数的更大C*-双代数？

主要发现

• C*-双代数$(\mathcal{O}_*, \Delta_\varphi)$不存在普遍R-矩阵，因为对某些$\mathcal{O}_2$的单位表示$\pi_1, \pi_2$，张量积表示$(\pi_1 \otimes \pi_2) \circ \Delta_\varphi$与$(\pi_2 \otimes \pi_1) \circ \Delta_\varphi$不酉等价。
• $\mathcal{O}_*$中普遍R-矩阵的非存在性意味着$\mathsf{CK}_*$（所有与非退化$\{0,1\}$-矩阵相关的Cuntz-Krieger代数的直和）也非拟余交换。
• 引理2.1中的判别准则——即$(\pi_1 \otimes \pi_2) \circ \Delta$与$(\pi_2 \otimes \pi_1) \circ \Delta$的酉等价性是普遍R-矩阵存在的必要条件——在C*-双代数设定下成立。
• 该结果表明，C*-双代数中单位元的缺失使得代数量子群公理无法直接应用，因此必须对普遍R-矩阵的定义进行修正。
• 若C*-双代数非余交换，则普遍R-矩阵不能是$M(A \otimes A)$中单位元的标量倍，这证实非拟余交换性比非余交换性更强。
• 本文为C*-双代数中普遍R-矩阵的存在性提供了表示理论障碍，将量子群理论的适用范围扩展至非单位元算子代数。