[论文解读] Non-Extendability of Holomorphic Functions with Bounded or Continuously Extendable Derivatives

Dionysios Moschonas, Vassili Nestoridis|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 4被引用 1

一句话总结

本文研究了在复平面上某区域的闭包上，其某些阶导数有界或可连续延拓的全纯函数的不可延拓性。证明了此类空间中不可延拓函数的集合要么为空集，要么为稠密的 $G_\delta$ 集，从而在自然的导数约束下，确立了不可延拓全纯函数的拓扑普遍性结果。

ABSTRACT

We consider the spaces $H_{F}^{\infty}(\Omega)$ and $\mathcal{A}_{F}(\Omega)$ containing all holomorphic functions $f$ on an open set $\Omega \subseteq \mathbb{C}$, such that all derivatives $f^{(l)}$, $l\in F \subseteq \mathbb{N}_0=\{ 0,1,...\}$, are bounded on $\Omega$, or continuously extendable on $\overline{\Omega}$, respectively. We endow these spaces with their natural topologies and they become Fr\'echet spaces. We prove that the set $S$ of non-extendable functions in each of these spaces is either void, or dense and $G_\delta$. We give examples where $S=\varnothing$ or not. Furthermore, we examine cases where $F$ can be replaced by $\widetilde{F}=\{ l\in \mathbb{N}_0:\min F \leqslant l \leqslant \sup F\}$, or $\widetilde{F}_0= \{l\in \mathbb{N}_0:0\leqslant l \leqslant \sup F\}$ and the corresponding spaces stay unchanged.

研究动机与目标

• 分析由有界或可连续延拓导数定义的函数空间中，不可延拓全纯函数集合的拓扑结构。
• 确定在何种条件下，这些函数空间中不可延拓函数的集合为稠密或为空集。
• 研究将给定的指标集 $F$ 替换为 $\widetilde{F}$ 或 $\widetilde{F}_0$ 时，是否保持函数空间不变。
• 刻画当指标集 $F$ 被替换为 $\widetilde{F}$ 或 $\widetilde{F}_0$ 时，空间 $H_F^\infty(\Omega)$ 或 $\mathcal{A}_F(\Omega)$ 保持不变的条件。

提出的方法

• 将空间 $H_F^\infty(\Omega)$ 和 $\mathcal{A}_F(\Omega)$ 定义为复平面中区域 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ 上的弗雷chet空间，其中对所有 $l \in F \subseteq \mathbb{N}_0$，全纯函数 $f$ 的导数 $f^{(l)}$ 有界或可连续延拓。
• 通过在紧子集上测量导数上确界的半范数，赋予这些空间自然的弗雷chet拓扑。
• 应用贝尔范畴定理，证明不可延拓函数的集合 $S$ 在这些空间中要么为空集，要么为稠密的 $G_\delta$ 集。
• 构造显式例子，说明 $S = \varnothing$ 和 $S \ne \varnothing$ 的情形，以说明该拓扑结果的紧致性。
• 分析将 $F$ 替换为 $\widetilde{F} = \{l \in \mathbb{N}_0 : \min F \leq l \leq \sup F\}$ 或 $\widetilde{F}_0 = \{l \in \mathbb{N}_0 : 0 \leq l \leq \sup F\}$ 对相应函数空间的影响。
• 证明在某些条件下，当 $F$ 被替换为 $\widetilde{F}$ 或 $\widetilde{F}_0$ 时，空间 $H_F^\infty(\Omega)$ 和 $\mathcal{A}_F(\Omega)$ 保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $H_F^\infty(\Omega)$ 或 $\mathcal{A}_F(\Omega)$ 中，不可延拓全纯函数的集合在何种条件下非空？
• RQ2 在这些空间中，不可延拓函数的集合是否总是稠密且为 $G_\delta$ 集（在弗雷chet拓扑下）？
• RQ3 在不改变函数空间的前提下，是否可以将指标集 $F$ 替换为 $\widetilde{F}$ 或 $\widetilde{F}_0$？
• RQ4 当 $F$ 被替换为 $\widetilde{F}$ 或 $\widetilde{F}_0$ 时，空间 $H_F^\infty(\Omega)$ 或 $\mathcal{A}_F(\Omega)$ 保持不变的必要且充分条件是什么？
• RQ5 不可延拓函数空间的拓扑性质与导数指标集 $F$ 的结构之间有何关联？

主要发现

• 在 $H_F^\infty(\Omega)$ 或 $\mathcal{A}_F(\Omega)$ 中，不可延拓函数的集合 $S$ 要么为空集，要么为弗雷chet拓扑下的稠密 $G_\delta$ 集。
• 存在某些区域 $\Omega$ 和指标集 $F$，使得 $S = \varnothing$，即该空间中的所有函数均可延拓至 $\Omega$ 之外。
• 也存在某些区域和指标集，使得 $S \ne \varnothing$，表明在这些情况下，不可延拓函数在拓扑上是普遍的。
• 在某些条件下，将 $F$ 替换为 $\widetilde{F} = \{l \in \mathbb{N}_0 : \min F \leq l \leq \sup F\}$ 会保持空间 $H_F^\infty(\Omega)$ 或 $\mathcal{A}_F(\Omega)$ 不变。
• 将 $F$ 替换为 $\widetilde{F}_0 = \{l \in \mathbb{N}_0 : 0 \leq l \leq \sup F\}$ 可能保持空间不变，但仅当 $F$ 的下界为零，或空间由从零阶到 $\sup F$ 阶的导数定义时成立。
• 只要空间配备自然的弗雷chet拓扑，该拓扑普遍性结果即成立，与 $F$ 的具体结构无关。