[论文解读] Non-faithful representations of surface groups into SL(2,C) which kill no simple closed curve

Daryl Cooper, Jason Fox Manning|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 6

一句话总结

该论文构建了表面群到 SL(2,ℂ) 的非忠实表示，这些表示不消去任何本质简单闭曲线，从而为 PSL(2,ℂ) 目标下的简单环路猜想的一个版本提供了反例。通过在特征簇中运用维数理论，作者证明当亏格 ≥4 时，存在不可数无穷多个此类表示，从而否定了 Minsky 的一个猜想，并表明即使像中不包含非平凡的椭圆元素，核中也不一定包含简单曲线。

ABSTRACT

We give counterexamples to a version of the simple loop conjecture in which the target group is PSL(2,C). These examples answer a question of Minsky in the negative.

研究动机与目标

• 为反驳 Minsky 提出的猜想而工作，即从曲面群到 PSL(2,ℂ) 的非单射同态必须消去某个本质简单闭曲线。
• 构造表面群到 SL(2,ℂ) 的显式非忠实表示示例，使得没有任何本质简单闭曲线映射到 ±I 或有限阶元素。
• 通过特征簇中的维数理论论证，证明存在不可数无穷多个此类表示的共轭类。
• 证明在一条分隔曲线（Z）上迹为 2 的特征集合是不可约的，从而支持对特征簇中代数结构的进一步研究。

提出的方法

• 分析到 SL(2,ℂ) 的表示的特征簇 X(π₁Σ)，重点关注在一条分隔曲线 C 上迹为 2 的特征集合 Z。
• 定义子集 Y（消去某个本质简单闭曲线的特征）和 E（像中包含椭圆元素的特征），以隔离避开这些集合的表示。
• 通过维数计数证明，当亏格 ≥4 时，Y 在复维数意义下为低维，E 在实维数意义下为低维。
• 应用代数几何工具：利用光滑点集的连通性证明 Z 的不可约性，以及复代数集不可约当且仅当其光滑部分连通、稠密且开。
• 利用经典拓扑结果：在射影代数簇中，真代数子集的补集是连通的，从而证明 Z ∖ (Y ∪ E) 非空。
• 证明属于 Z ∖ (Y ∪ E) 的特征所对应的表示是非单射的，且没有任何本质简单闭曲线映射到 ±I 或有限阶元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个从曲面群到 PSL(2,ℂ) 的非单射同态是否必然消去某个本质简单闭曲线？
• RQ2 能否构造出表面群到 SL(2,ℂ) 的非忠实表示，使得没有任何本质简单闭曲线映射到 ±I 或有限阶元素？
• RQ3 不消去任何简单曲线的表示的特征簇的维数是多少？它与完整特征簇的维数相比如何？
• RQ4 在分隔曲线上迹为 2 的特征集合是否作为代数集是不可约的？
• RQ5 能否构造出像中不包含非平凡椭圆元素的此类表示？

主要发现

• 对于亏格至少为 4 的曲面，存在非单射同态 θ: π₁Σ → SL(2,ℂ)，使得 θ(α) = ±I 仅当 α 不是由本质简单闭曲线表示时。
• 消去某个本质简单闭曲线的特征集合 Y 的复维数至多为 dimℂ Z − 1，表明其为 Z 的低维子集。
• 像中包含椭圆元素的特征集合 E 的实维数至多为 dimℝ Z − 1（当亏格 ≥4 时），表明此类表示在特征簇中极为稀少。
• 特征簇子集 Z（在分隔曲线上迹为 2）是不可约的，因为其光滑点集连通、稠密且开。
• 存在不可数无穷多个此类表示的共轭类，该结论通过特征簇中的维数理论论证得以确立。
• 该构造对 Minsky 关于 PSL(2,ℂ) 上简单环路猜想的问题给出了否定回答，表明该猜想不适用于此情形。