[论文解读] Non-FPT lower bounds for structural restrictions of decision DNNF

Andrea Calı̀, Florent Capelli+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文建立了结构化决策DNNF和∧d-OBDD的非FPT下界，表明尽管这些公式在FPT时间内可解，但此类知识编译格式无法高效表示有界关联树宽的CNF公式。该结果揭示了知识编译中原始树宽与关联树宽之间的基本参数化复杂度分离，解决了关于基于完整DPLL的实用SAT求解器局限性的开放问题。

ABSTRACT

We give a non-FPT lower bound on the size of structured decision DNNF and OBDD with decomposable AND-nodes representing CNF-formulas of bounded incidence treewidth. Both models are known to be of FPT size for CNFs of bounded primal treewidth. To the best of our knowledge this is the first parameterized separation of primal treewidth and incidence treewidth for knowledge compilation models.

研究动机与目标

• 探究决策DNNF的结构限制是否能高效表示有界关联树宽的CNF公式。
• 确定依赖于此类DNNF表示的完整DPLL工具是否能高效处理通过关联树宽可 tractable 的公式。
• 在知识编译模型中建立原始树宽与关联树宽之间的参数化复杂度分离。
• 证明尽管底层问题在FPT时间内可解，结构化DNNF与∧d-OBDD无法以FPT大小表示有界关联树宽的公式。

提出的方法

• 从有界树宽且度数不超过5的图G构造CNF公式族F²_G，其关联树宽至多为2k′+3，其中k′ = ⌊(k−3)/2⌋。
• 利用G的树分解构建F²_G的有效关联树分解，证明其关联树宽有界。
• 应用定理19，找到一个顶点u和G中的一组大匹配M，使得在任何变量顺序的线性扩展中，M的所有边均围绕u排列。
• 证明对于任意V¹ ∪ V²上的线性序<，F²_G中存在一个大小为Ω(k log n)的极大诱导匹配M′，满足定理18的条件。
• 利用定理18推导出任何∧d-OBDD表示F²_G的大小下界为2^{|M|/2−1}，进而得出n^{Ω(k)}的下界。
• 通过类似的基于匹配的论证，将该结论扩展至结构化DNNF，表明此类表示无法为FPT大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 结构化决策DNNF能否高效表示有界关联树宽的CNF公式？
• RQ2 有界关联树宽CNF公式的∧d-OBDD表示是否具有FPT大小的上界？
• RQ3 知识编译模型中，原始树宽与关联树宽之间是否存在参数化复杂度分离？
• RQ4 考虑到其依赖于DNNF编译，基于完整DPLL的SAT求解器能否高效处理通过关联树宽可 tractable 的公式？

主要发现

• 对每个k，存在一个无限的CNF公式族，其关联树宽为k，而结构化决策DNNF表示的大小为|F|^{Ω(k)}。
• 对于同一族公式，∧d-OBDD表示的大小同样为|F|^{Ω(k)}，确立了非FPT下界。
• 该下界源于在任何变量顺序下，其关联图中存在一个大小为Ω(k log n)的极大诱导匹配M。
• 该构造使用了树宽为k′且度数不超过5的图G，确保F²_G的关联树宽被限制在2k′+3 ≤ k以内。
• 结果表明，尽管有界关联树宽的公式可在FPT时间内求解，但无法编译为FPT大小的结构化DNNF或∧d-OBDD。
• 该结果首次在知识编译中实现了原始树宽与关联树宽之间的参数化分离，凸显了结构限制中的根本不对称性。