[论文解读] Non-Gibbsianness of the invariant measures of non-reversible cellular automata with totally asymmetric noise

Roberto Fernández, André Toom|ArXiv.org|Jan 15, 2001

Cellular Automata and Applications参考文献 22被引用 10

一句话总结

本文证明了在具有单向噪声（仅0可随机翻转为1，反之不可）的非可逆元胞自动机中，其不变测度为非Gibbsian。通过在d≥2晶格上的侵蚀型自动机中使用损伤传播机制，表明大范围均匀的1区域具有指数过高的概率，违反了Gibbs性，其证据为半径为L的球形区域对数概率的次体积指数衰减。

ABSTRACT

We present a class of random cellular automata with multiple invariant measures which are all non-Gibbsian. The automata have configuration space {0,1}^{Z^d}, with d > 1, and they are noisy versions of automata with the "eroder property". The noise is totally asymmetric in the sense that it allows random flippings of "0" into "1" but not the converse. We prove that all invariant measures assign to the event "a sphere with a large radius L is filled with ones" a probability μ_L that is too large for the measure to be Gibbsian. For example, for the NEC automaton -ln(μ_L) ~ L while for any Gibbs measure the corresponding value is ~ L^2.

研究动机与目标

• 研究具有非对称噪声的非可逆随机元胞自动机中不变测度的Gibbs性。
• 确定此类测度是否可对应于统计力学系统中的平衡态。
• 确立此类中多个不变测度虽在动力学下保持平稳，但均为非Gibbsian。
• 将对非Gibbs性的理解扩展至不具对称噪声或细致平衡的情况。

提出的方法

• 在{0,1}^Z^d上构造一类d>1的随机元胞自动机，其源自具单向噪声（仅0→1）的确定性侵蚀型自动机。
• 通过一种‘蜘蛛’或初始种子配置分析动力学，该配置随时间传播并填充大范围的1区域。
• 对观察到半径为L的1球区域的概率给出下界，表明其衰减为exp(−cL)，而非Gibbsian所要求的exp(−cL²)。
• 应用重正化与块变换论证，表明非Gibbs性在单格点变换下保持不变。
• 采用下界估计技术，将结果推广至满足特定转移率条件的更广泛随机元胞自动机类。
• 考虑具体例子如NEC模型，并推广至对坐标敏感度不同的函数f，对某些f导出更强的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有完全非对称噪声的非可逆元胞自动机的不变测度是否具有Gibbs性？
• RQ2 此类系统中大范围均匀1簇的概率是否与Gibbs测度不一致？
• RQ3 此类测度的非Gibbs性在重正化变换下是否具有鲁棒性？
• RQ4 当缺乏细致平衡且存在单向噪声时，即使存在多个不变测度，是否仍导致非Gibbs性？
• RQ5 大范围均匀区域概率的衰减速率能否作为非Gibbs性的诊断指标？

主要发现

• 所研究类中非可逆元胞自动机的所有不变测度均为非Gibbsian。
• 半径为L的球区域全为1的概率μ_L衰减为exp(−cL)，该衰减速率过快，不符合Gibbs性要求的exp(−cL²)衰减。
• 对于NEC自动机，−ln μ_L ≍ L，而任何Gibbs测度均需满足−ln μ_L ≍ L²，明确违反Gibbs行为。
• 非Gibbs性源于损伤传播机制：单个‘蜘蛛’型1区域可生长为填充大球区域，使此类配置概率过高。
• 即使动力学不可逆且不满足细致平衡，该结果仍成立，并可推广至满足最小转移率条件的更广泛随机元胞自动机类。
• 非Gibbs性机制在单格点重正化下具有鲁棒性，意味着这些测度无法由Gibbs测度的块平均产生。