[论文解读] Non-globally Lipschitz Counterexamples for the stochastic Euler scheme

Martin Hutzenthaler, Arnulf Jentzen|arXiv (Cornell University)|May 4, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 16

一句话总结

本文证明，对于系数超线性增长的随机微分方程（SDEs），随机欧拉格式在强 L^p 意义下和数值弱意义下均无法收敛到真实解。作者提供了反例，表明精确解与数值近似之间的误差发散至无穷大，从而解决了关于此类 SDEs 收敛性的一个开放问题。

ABSTRACT

The stochastic Euler scheme is known to converge to the exact solution of a stochastic differential equation with globally Lipschitz coefficients and even with coefficients which grow at most linearly. For super-linearly growing coefficients convergence in the strong and numerically weak sense remained an open question. In this article we prove for many stochastic differential equations with super-linearly growing coefficients that Euler’s approximation does not converge neither in the strong L p-sense nor in the numerically weak sense to the exact solution. Even worse, the difference of the exact solution and of the numerical approximation diverges to infinity in the strong L p-sense and in the numerically weak sense. 1

研究动机与目标

• 解决随机欧拉格式在超线性增长系数的 SDEs 中是否收敛的开放问题。
• 研究当系数增长快于线性时欧拉格式的行为，此前该情况下的收敛性尚未得到证明。
• 确定对于此类 SDEs，收敛是否在强 L^p 意义下和数值弱意义下成立。
• 构建显式反例，以证明数值近似与精确解之间的发散。
• 阐明随机欧拉格式在模拟具有快速增长漂移或扩散系数的 SDEs 时的根本局限性。

提出的方法

• 构造具有超线性增长系数的特定 SDEs 作为反例。
• 分析所构造 SDEs 的欧拉格式在强 L^p 收敛性方面的行为。
• 通过考察解泛函期望值的收敛性，研究数值弱收敛性。
• 运用概率与分析技术，证明在强弱两种意义下误差的发散性。
• 建立精确解与数值解之间差值的界和渐近行为。
• 利用全局利普希茨连续和线性增长系数下收敛性已知结果，与超线性情形进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有超线性增长系数的 SDEs，随机欧拉格式在强 L^p 意义下是否收敛？
• RQ2 对于具有超线性增长系数的 SDEs，欧拉格式是否具有数值弱收敛性？
• RQ3 能否构造出欧拉格式在强弱两种意义下均与真实解发散的反例？
• RQ4 在超线性系数情形下，精确解与欧拉近似之间误差的渐近行为如何？
• RQ5 在应用欧拉格式于具有快速增长系数的 SDEs 时是否存在根本性限制？

主要发现

• 对于具有超线性增长系数的 SDEs，随机欧拉格式在强 L^p 意义下不收敛到精确解。
• 在所构造的反例中，精确解与欧拉近似之间的误差在强 L^p 意义下发散至无穷大。
• 当存在超线性增长系数时，欧拉格式的数值弱收敛性也失效。
• 即使在泛函期望值中，误差也发生发散，表明在数值弱意义下也失败。
• 本研究通过证明此类 SDEs 下无法保证收敛性，解决了长期存在的开放问题。
• 提供了显式反例，其中精确解与数值解之间的差值无界增长。