[论文解读] Non-harmonic cones are Heisenberg uniqueness pairs for the Fourier transform on $\mathbb R^n$

R. K. Srivastava|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2015

Numerical methods in inverse problems参考文献 21被引用 9

一句话总结

该论文证明，只要一个在 ℝⁿ 中的锥面不完全位于任何齐次调和多项式的零点集中，则该锥面是傅里叶变换下的海森堡唯一性对（HUP）。通过球谐函数、贝塞尔函数及Funk-Hecke恒等式，作者证明：若某一有限博雷尔测度在该锥面上有紧支集且其傅里叶变换在集合 Λ 上恒为零，则该测度必为零，从而将已知结果推广至非调和锥面及二维球面上的测地圆周。

ABSTRACT

In this article, we prove that a cone is a Heisenberg uniqueness pair corresponding to sphere as long as the cone does not completely recline on the level surface of any homogeneous harmonic polynomial on $\mathbb R^n.$ We derive that $\left(S^2, ext{ paraboloid} ight)$ and $\left(S^2, ext{ geodesic of } S_r(o) ight)$ are Heisenberg uniqueness pairs for a class of certain symmetric finite Borel measures in $\mathbb R^3.$ Further, we correlate the problem of Heisenberg uniqueness pairs to the sets of injectivity for the spherical mean operator.

研究动机与目标

• 表征 ℝⁿ 中的锥面在何种条件下是傅里叶变换下的海森堡唯一性对（HUP）
• 将 HUP 框架从调和或对称曲面推广至一般非调和锥面
• 研究球谐函数与贝塞尔函数在确定锥面上支撑测度唯一性中的作用
• 将 HUP 问题与球平均算子的单射性联系起来
• 探讨 SO(n) 及其子群等群作用对高维空间中 HUP 结构的影响

提出的方法

• 利用球谐函数对锥面上的测度进行分解，并应用 Funk-Hecke 恒等式，将傅里叶变换与贝塞尔函数关联
• 利用球谐函数的正交性及贝塞尔函数的性质，推导傅里叶变换的消失条件
• 通过角变量与径向参数的积分，分析锥面上表面测度的傅里叶变换行为
• 应用 L² 空间中贝塞尔函数范数的极限性质，推得所有傅里叶系数必须消失
• 利用贝塞尔函数至多只有可数个零点的事实，得出系数函数必须恒为零
• 应用旋转与线性变换下的不变性原理，将 ℝ³ 中的结果推广至 ℝⁿ

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，ℝⁿ 中的锥面是有限博雷尔测度傅里叶变换下的海森堡唯一性对？
• RQ2 贝塞尔函数与勒让德函数的零点如何影响锥面或测地圆周上支撑测度的唯一性？
• RQ3 HUP 性质能否推广至不包含于任何齐次调和多项式水平集中的锥面？
• RQ4 HUP 问题与球平均算子单射性之间存在何种关系？
• RQ5 SO(n) 及其子群等群作用如何影响对称曲面上 HUP 结构？

主要发现

• 若锥面 C ⊂ ℝⁿ 不位于任何齐次调和多项式的零点集中，则 C 是单位球面 Sⁿ⁻¹ 上的海森堡唯一性对
• 在 ℝ³ 中，对一类对称的有限博雷尔测度而言，(S², 抛物面) 是一个海森堡唯一性对
• 当且仅当对所有 l ∈ ℤ₊ 有 J_{(l+1)/2}(R) ≠ 0，且 r/R 不是任何关联勒让德函数的零点时，(S², 以 o 为中心、半径为 r 的测地圆周) 是一个 HUP
• 对于锥面上支撑的测度，若其傅里叶变换在集合 Λ 上恒为零，则该测度必为零，前提是该锥面避开了所有齐次调和多项式的水平集
• 该结果可推广至高维空间，证明结构通过球谐函数分解与贝塞尔函数分析得以保持
• HUP 性质在旋转与平移下不变，并通过傅里叶变换的对偶性在一般线性变换下保持不变