[论文解读] Non-Hermitian $\cal PT$-symmetric quantum mechanics of relativistic particles with the restriction of mass

V.N. Rodionov|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2013

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文通过在狄拉克方程中引入一个依赖于 γ₅ 的质量项（m → m₁ + γ₅m₂），研究了相对论性量子力学的非厄米 PT 对称推广。推导出质量限制 m ≤ m_max = m₁²/(2m₂)，该限制确保了未破缺的 PT 对称性，揭示了两个不同的粒子分支：当 m₂ ≤ m₁/√2 时为普通费米子，具有标准狄拉克极限；当 m₁/√2 ≤ m₂ ≤ m₁ 时为奇异费米子，其不具有此类极限，可能对应于暗物质候选者。

ABSTRACT

The modified Dirac equations for the massive particles with the replacement of the physical mass $m$ with the help of the relation $m ightarrow m_1+ γ_5 m_2$ are investigated. It is shown that for a fermion theory with a $γ_5$-mass term, the limiting of the mass specter by the value $ m_{max}= {m_1}^2/2m_2$ takes place. In this case the different regions of the unbroken $\cal PT$ symmetry may be expressed by means of the restriction of the physical mass $m\leq m_{max}$. It should be noted that in the approach which was developed by C.Bender et al. for the $\cal PT$-symmetric version of the massive Thirring model with $γ_5$-mass term, the region of the unbroken $\cal PT$-symmetry was found in the form $m_1\geq m_2$ \cite{ft12}. However on the basis of the mass limitation $m\leq m_{max}$ we obtain that the domain $m_1\geq m_2$ consists of two different parametric sectors: i) $0\leq m_2 \leq m_1/\sqrt{2}$ -this values of mass parameters $m_1,m_2$ correspond to the traditional particles for which in the limit $m_{max} ightarrow \infty$ the modified models are converting to the ordinary Dirac theory with the physical mass $m$; ii)$m_1/\sqrt{2}\leq m_2 \leq m_1$ - this is the case of the unusual particles for which equations of motion does not have a limit, when $m_{max} ightarrow \infty$. The presence of this possibility lets hope for that in Nature indeed there are some "exotic fermion fields". As a matter of fact the formulated criterions may be used as a major test in the process of the division of considered models into ordinary and exotic fermion theories. It is tempting to think that the quanta of the exotic fermion field have a relation to the structure of the "dark matter".

研究动机与目标

• 在非厄米 PT 对称框架下，研究狄拉克方程中依赖于 γ₅ 的质量项（m₁ + γ₅m₂）的物理含义。
• 确定由此产生的哈密顿量的 PT 对称性保持未破缺的条件。
• 探讨由相同代数结构产生的普通与奇异费米子态之间的物理差异。
• 建立质量谱限制 m ≤ m_max = m₁²/(2m₂) 作为 PT 对称性与几何约束的推论。
• 评估奇异费米子态（在 m_max → ∞ 时无法还原为标准狄拉克理论）是否可能与暗物质相关。

提出的方法

• 形式化带有 γ₅ 质量项的修正狄拉克方程：(p₀ − α̂·p − β̂(m₁ + γ₅m₂))Ψ = 0。
• 推导出非厄米哈密顿量 H = α̂·p + β̂(m₁ + m₂γ₅)，其在特定条件下具有 PT 对称性。
• 应用 PT 对称性判据 [H, PT]ψ = 0 以识别未破缺对称性的区域。
• 使用辅助参数变换 ν₁ = m₁/M, ν₂ = m₂/M，将 (ν₁, ν₂) 平面中的对称性区域映射出来。
• 应用判据 m₁² ≥ m₂² 以定义未破缺 PT 对称性的区域，并将其划分为三个子区域。
• 从德西特动量空间中的有限质量谱几何约束中推导出质量限制 m_max = m₁²/(2m₂)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 γ₅ 质量项的 PT 对称狄拉克理论中，质量限制 m ≤ m_max = m₁²/(2m₂) 的物理意义是什么？
• RQ2 条件 m₁ ≥ m₂ 如何将参数空间划分为费米子行为上物理上不同的区域？
• RQ3 为何区域 m₂ ≤ m₁/√2 与普通费米子对应，而区域 m₁/√2 ≤ m₂ ≤ m₁ 与奇异费米子对应？
• RQ4 奇异区域中缺乏标准狄拉克极限，是否可与 m_max → ∞ 时物理质量极限的缺失相联系？
• RQ5 几何方法（德西特动量空间）在生成具有有限质量谱的非厄米、PT 对称哈密顿量中起什么作用？

主要发现

• 带有 γ₅ 质量项的修正狄拉克哈密顿量是非厄米的，但当 m₁² ≥ m₂² 时表现出未破缺的 PT 对称性。
• 有限质量谱由条件 m ≤ m_max = m₁²/(2m₂) 强制实现，该条件源于德西特动量空间的几何约束。
• 参数空间 m₁² ≥ m₂² 划分为三个子区域：两个奇异区域（ν₁/√2 ≤ ν₂ ≤ ν₁ 和 −ν₁ ≤ ν₂ ≤ −ν₁/√2）与一个普通区域（−ν₁/√2 ≤ ν₂ ≤ ν₁/√2）。
• 普通费米子区域（m₂ ≤ m₁/√2）在 m_max → ∞ 时可平滑地还原为标准狄拉克理论，而奇异区域（m₁/√2 ≤ m₂ ≤ m₁）则不能。
• 奇异费米子由不还原为标准形式的修正狄拉克方程表征，表明其具有根本不同的动力学行为。
• 通过代数方法构造 γ₅ 质量项可重现先前由具有最大质量的几何模型推导出的相同奇异粒子结构，表明奇异费米子态并非几何形式化的独有产物。