[论文解读] Non Hermitian Operators with Real Spectrum in Quantum Mechanics

da Providência, João, Bebiano, Natália+1 more|ArXiv.org|Sep 16, 2009

Quantum Mechanics and Applications被引用 10

一句话总结

本文研究了量子力学中具有实谱的非厄米哈密顿量，证明了存在一个对合算符 $\mathcal{J}$ 使得 $\mathcal{J}$-厄米性成立，可实现正定范数算符 $Q$ 的明确构造。该 $Q$ 确保了标准的概率解释，具体例子包括 $\mathcal{PT}$-对称及非 $\mathcal{PT}$-对称的泡利-特勒哈密顿量扩展，所有这些均通过基于 $Q$ 的相似变换与厄米对应物相似。

ABSTRACT

Examples are given of non-Hermitian Hamiltonian operators which have a real spectrum. Some of the investigated operators are expressed in terms of the generators of the Weil-Heisenberg algebra. It is argued that the existence of an involutive operator $\hat J$ which renders the Hamiltonian $\hat J$-Hermitian leads to the unambiguous definition of an associated positive definite norm allowing for the standard probabilistic interpretation of quantum mechanics. Non-Hermitian extensions of the Poeschl-Teller Hamiltonian are also considered. Hermitian counterparts obtained by similarity transformations are constructed.

研究动机与目标

• 建立非厄米哈密顿量在量子力学中拥有实谱并允许标准概率解释的条件。
• 解决为具有实特征值的非厄米算符定义正定范数时的非唯一性问题。
• 构造此类哈密顿量的显式例子，包括泡利-特勒势的扩展，并通过正定度量算符证明其与厄米算符的相似性。
• 证明存在一个对合算符 $\mathcal{J}$ 使得 $\mathcal{J}H = H^\dagger \mathcal{J}$，可实现正定范数 $Q$ 的明确定义。
• 通过考虑非 $\mathcal{PT}$-对称扩展（具有实谱且正确定义的正范数），将框架推广至 $\mathcal{PT}$-对称性之外。

提出的方法

• 本文采用满足 $\mathcal{J}^2 = I$ 与 $\mathcal{J}H = H^\dagger \mathcal{J}$ 的对合算符 $\mathcal{J}$ 的存在性，确保 $H$ 的谱为实数，并通过 $\langle \psi_j| = \eta_j \langle \phi_j|\mathcal{J}$ 构造左特征向量系。
• 构造一个正定厄米算符 $Q$，使得 $QH = H^\dagger Q$，利用关系 $|\psi_j\rangle = \eta_j \mathcal{J}|\phi_j\rangle = Q|\phi_j\rangle$，确保 $Q$ 由 $\mathcal{J}$-结构唯一确定。
• 应用相似变换 $\tilde{H} = Q^{1/2} H Q^{-1/2}$，将非厄米 $H$ 映射为厄米 $\tilde{H}$，保持谱不变并实现标准量子力学解释。
• 对于泡利-特勒哈密顿量，通过在 $x$ 上进行复平移（$x \to x - i\alpha$）和 $p$-旋转（$p \to p e^{i\theta}$）构造非厄米扩展，两者均显示具有实谱。
• 论文验证了扩展哈密顿量 $H_\alpha$ 与 $H_\theta$ 分别关于 $Q = e^{2\alpha p}$ 与 $Q = e^{\theta(px + xp)}$ 为 $Q$-厄米，确保正定内积。
• 确认范数算符 $Q$ 满足 $\mathcal{J} \log Q \, \mathcal{J} = -\log Q$，符合本德对度量完全指定的标准。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过正定范数在标准量子力学中一致地解释具有实谱的非厄米哈密顿量？
• RQ2 如何解决为具有实特征值的非厄米哈密顿量定义度量算符 $Q$ 时的模糊性问题？
• RQ3 对合算符 $\mathcal{J}$ 在实现非厄米系统中唯一正定范数 $Q$ 构造中起什么作用？
• RQ4 泡利-特勒势的非 $\mathcal{PT}$-对称扩展是否保持实谱并允许标准概率解释？
• RQ5 能否显式构造相似变换，通过基于 $Q$ 的度量将具有实谱的非厄米哈密顿量映射为厄米形式？

主要发现

• 非厄米哈密顿量 $H = p^2 + x^2 + i x^3$ 由于未破缺的 $\mathcal{PT}$-对称性而具有实谱，其谱在映射为厄米形式的相似变换下保持不变。
• 泡利-特勒哈密顿量 $H = p^2 - \gamma(\gamma-1)/\cosh^2 x$ 的 $\mathcal{PT}$-对称扩展 $H_\alpha = p^2 - \gamma(\gamma-1)/\cosh^2(x - i\alpha)$ 与原哈密顿量具有相同的实谱，且 $Q = e^{2\alpha p}$ 确保了正定范数。
• 非 $\mathcal{PT}$-对称扩展 $H_\theta = (\eta + i\zeta)^2 p^2 - \gamma(\gamma-1)/\cosh^2((\eta - i\zeta)x)$，其中 $\eta = \cos\theta$，$\zeta = \sin\theta$，$|\theta| < \pi/4$，同样具有与原始泡利-特勒哈密顿量相同的实谱。
• 相似变换 $H_\theta = e^{-\theta/2 (px + xp)} H e^{\theta/2 (px + xp)}$ 确认 $H_\theta$ 通过正定度量 $Q = e^{\theta(px + xp)}$ 与一个厄米算符酉等价，确保了概率解释的一致性。
• 范数算符 $Q$ 由 $\mathcal{J}$-结构唯一确定，满足 $\mathcal{J} Q \mathcal{J} = Q^{-1}$ 与 $\mathcal{J} \log Q \, \mathcal{J} = -\log Q$，符合本德对度量完全且无歧义定义的标准。
• 本文证明，$\mathcal{J}$-厄米结构的存在允许构造正定内积 $\langle \psi | Q | \phi \rangle$，确保概率振幅 $|\langle R_i | \mathcal{J} | \Xi \rangle|^2$ 具有物理意义。