[论文解读] Non-homogeneous fractional Schrödinger equation

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文通过山路定理与Ekeland变分原理，证明了在$\mathbb{R}^n$中非齐次分数阶薛定谔方程至少存在两个非平凡解。在势能$V(x)$、非线性项$f(u)$与外源$h(x)$满足适当条件时，作者在分数阶Sobolev空间$H^\alpha(\mathbb{R}^n)$中证明了解的多重性，将先前结果推广至非平凡外源情形。

ABSTRACT

In this article we are interested on the non-homogeneous fractional Schrödinger equation \begin{eqnarray}\label{eq00} &(-Δ)^αu(x) + V(x)u(x) = f(u) + h(x) \mbox{ in } \mathbb{R}^{n}. \end{eqnarray} By using mountain pass Thoerem and Ekeland's variational principle, we prove the existence of two nontrivial solutions for ( ef{eq00}).

研究动机与目标

• 解决非齐次分数阶薛定谔方程在无平凡解情况下的存在性结果缺乏的问题。
• 在存在非零外源$h(x)$时，建立多重解的存在性。
• 将先前针对齐次方程的研究结果扩展至$h \not\equiv 0$的非齐次情形。
• 克服在强迫项存在下证明紧性与Palais-Smale条件的挑战。

提出的方法

• 在加权分数阶Sobolev空间$H_V^\alpha(\mathbb{R}^n)$中表述问题，其范数为$\|u\|_V^2 = \int_{\mathbb{R}^n} ((-\Delta)^\alpha u)u \, dx + \int_{\mathbb{R}^n} V(x)u^2 \, dx$。
• 定义能量泛函$I(u) = \frac{1}{2}\|u\|_V^2 - \int_{\mathbb{R}^n} F(u) \, dx - \int_{\mathbb{R}^n} h(x)u \, dx$。
• 应用山路定理在正临界水平$c > 0$处建立一个临界点。
• 在闭球$\overline{B(0,\varrho)}$上应用Ekeland变分原理，找到一个位于水平$\overline{c} < c$的第二个临界点。
• 利用$V(x)$的强制性以及$H_V^\alpha(\mathbb{R}^n)$到$L^{2_\alpha^*}$与$L^2$的紧嵌入，证明在两个水平处均满足Palais-Smale条件。
• 利用假设$f(0) = 0$，$f(t) = o(|t|)$当$t \to 0$，以及$f(t) = o(|t|^{2_\alpha^*})$当$|t| \to \infty$，并结合Ambrosetti-Rabinowitz条件$\mu F(u) \leq u f(u)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$h \not\equiv 0$时，非齐次分数阶薛定谔方程是否允许多重解？
• RQ2 山路定理与Ekeland原理能否应用于非平凡外源情形下证明解的多重性？
• RQ3 对$f$、$V$与$h$施加何种条件，可确保在$H^\alpha(\mathbb{R}^n)$中存在两个几何上不同的解？
• RQ4 非零强迫项的存在如何影响变分框架中紧性与Palais-Smale条件？

主要发现

• 在给定假设下，方程$(-\Delta)^\alpha u + V(x)u = f(u) + h(x)$在$\mathbb{R}^n$中至少存在两个不同的非平凡解。
• 第一个解通过山路定理在正临界水平$c > 0$处获得，确保其为非零临界点。
• 第二个解源于在闭球$\overline{B(0,\varrho)}$上应用Ekeland变分原理，得到位于水平$\overline{c} < c$的临界点。
• 由于$V(x)$的强制性以及紧嵌入$H_V^\alpha(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow L^{2_\alpha^*}(\mathbb{R}^n)$，在两个水平处均满足Palais-Smale条件。
• 由严格不等式$\overline{c} < c$保证了两个临界点不重合，从而确保了两个解的几何差异性。
• 本结果将先前针对齐次方程的存在性定理推广至$h \not\equiv 0$的非齐次情形，该情形此前研究较少。