[论文解读] Non-hyperbolic ergodic measures for non-hyperbolic homoclinic classes

Lorenzo J. Díaz, Anton Gorodetski|ArXiv.org|Apr 10, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 4

一句话总结

该论文证明，在 $\text{Diff}^1(M)$ 的一个残集子集中，任何包含不同指标鞍点的同宿类必然支持一个不可数、不变、遍历、非双曲的测度——这意味着至少有一个李雅普诺夫指数为零。该结果通过鲁棒的异宿环和 $C^1$-扰动技术实现，证实了非一致双曲情形下帕利斯猜想的改进版本。

ABSTRACT

We prove that for a generic $C^1$-diffeomorphism existence of a homoclinic class with periodic saddles of different indices (dimension of the unstable bundle) implies existence an invariant ergodic non-hyperbolic (one of the Lyapunov exponents is equal to zero) measure of $f$.

研究动机与目标

• 研究非一致双曲动力系统中非双曲遍历不变测度的存在性。
• 解决非一致双曲性在非一致双曲系统补集中是否普适的猜想。
• 证明在 $C^1$ 普适条件下，包含不同指标鞍点的同宿类必然支持非双曲遍历测度。
• 提供一种动力机制——异宿环——以解释在遍历水平上非双曲行为的出现。
• 将对非双曲结构的理解从一致双曲性扩展至更广泛的情境，特别是在帕利斯猜想的背景下。

提出的方法

• 使用 $C^1$-扰动技术构造一个残集子集 $\mathcal{S} \subset \text{Diff}^1(M)$，以确保鲁棒的动力学特征。
• 利用涉及不同指标周期鞍点的异宿环来生成非双曲行为。
• 应用 $V$-相关环构造，以确保周期轨道之间的 $V$-同宿关系和 $V$-${\rm u}$-双累积性。
• 通过李雅普诺夫指数估计和返回时间的几何控制，确保中心方向的李雅普诺夫指数非零，并使测度在不可数集合上支撑。
• 通过嵌套构造开集 $\mathcal{Z}_{n_1,\dots,n_N}$ 和稠密子集 $\mathcal{D}_{n_1,\dots,n_N}$，确保非双曲测度的普适性与鲁棒性。
• 通过在不同指标轨道上支撑的周期测度的弱$^*$-极限，建立非双曲遍历测度的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $C^1$ 普适微分同胚中，任何包含不同指标鞍点的同宿类是否必然支持一个非双曲遍历不变测度？
• RQ2 在缺乏一致双曲性的情况下，非双曲遍历测度是否能在非一致双曲系统中普适出现？
• RQ3 哪些动力学结构（如异宿环）必然导致非双曲遍历测度的出现？
• RQ4 此类测度的存在性在微分同胚空间中是否对 $C^1$-扰动具有鲁棒性？
• RQ5 不同指标周期轨道的存在如何影响不变测度的李雅普诺夫谱？

主要发现

• 存在一个残集子集 $\mathcal{S} \subset \text{Diff}^1(M)$，使得对每个 $f \in \mathcal{S}$，任何包含不同指标鞍点的同宿类均支持一个不可数、不变、遍历、非双曲的测度。
• 该非双曲测度作为在不同指标轨道上支撑的周期测度的弱$^*$-极限而出现，确保了不可数支撑。
• 该构造依赖于不同指标周期鞍点之间的鲁棒 $V$-相关异宿环，确保了 $V$-${\rm u}$-双累积性与非零中心李雅普诺夫指数。
• 与中心方向相关的李雅普诺夫指数满足 $\chi^c(P_{n_1}) < \frac{1}{2}\chi^c(B_g)$，其中 $g$ 接近所构造的微分同胚，从而确保非一致双曲性。
• 此类微分同胚的集合是残集，意味着该性质在 $C^1$ 拓扑下是普适成立的。
• 该结果支持了帕利斯猜想的改进版本，表明当同宿类包含不同指标鞍点时，非双曲遍历测度在非一致双曲系统补集中是普适存在的。