[论文解读] Non-intrusive data-driven reduced-order modeling for time-dependent parametrized problems

Junming Duan, Jan S. Hesthaven|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2023

Model Reduction and Neural Networks参考文献 32被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种非侵入式、数据驱动的降阶建模框架，用于处理时间依赖的参数化问题。该方法采用卷积自编码器（CAE）进行非线性降维，结合高阶动态模态分解（HODMD）来建模潜在空间的动力学。该方法可在新参数值和新时间点上实现快速、精确的全阶解预测，即使在对流主导的问题中也表现良好，重建误差与仅使用CAE时相当，且在测试案例中预测误差低于1.1×10⁻²。

ABSTRACT

Reduced-order models are indispensable for multi-query or real-time problems. However, there are still many challenges to constructing efficient ROMs for time-dependent parametrized problems. Using a linear reduced space is inefficient for time-dependent nonlinear problems, especially for transport-dominated problems. The non-linearity usually needs to be addressed by hyper-reduction techniques, such as DEIM, but it is intrusive and relies on the assumption of affine dependence of parameters. This paper proposes and studies a non-intrusive reduced-order modeling approach for time-dependent parametrized problems. It is purely data-driven and naturally split into offline and online stages. During the offline stage, a convolutional autoencoder, consisting of an encoder and a decoder, is trained to perform dimensionality reduction. The encoder compresses the full-order solution snapshots to a nonlinear manifold or a low-dimensional reduced/latent space. The decoder allows the recovery of the full-order solution from the latent space. To deal with the time-dependent problems, a high-order dynamic mode decomposition (HODMD) is utilized to model the trajectories in the latent space for each parameter. During the online stage, the HODMD models are first utilized to obtain the latent variables at a new time, then interpolation techniques are adopted to recover the latent variables at a new parameter value, and the full-order solution is recovered by the decoder. Some numerical tests are conducted to show that the approach can be used to predict the unseen full-order solution at new times and parameter values fast and accurately, including transport-dominated problems.

研究动机与目标

• 解决传统侵入式、仿射依赖的超降维技术在时间依赖参数化问题降阶建模中的局限性。
• 克服线性降阶空间在捕捉参数化PDE中非线性、对流主导动力学时的低效性。
• 开发一种完全基于数据、非侵入式的降阶建模框架，实现离线与在线计算阶段的分离。
• 通过潜在空间动力学与插值方法，实现在新参数值与新时间点上对全阶解的精确且快速预测。

提出的方法

• 在离线阶段训练卷积自编码器（CAE），将全阶解快照压缩至低维非线性潜在空间。
• CAE的解码器组件可从潜在变量重建全阶解，实现高精度重建。
• 对每个参数值，应用高阶动态模态分解（HODMD）以建模潜在变量的时间动力学，捕捉潜在空间中的时间演化。
• 在在线阶段，HODMD模型用于预测新时间点的潜在变量；通过插值方法估算新参数值下的潜在变量。
• 利用训练好的解码器，从插值后的潜在变量恢复全阶解。
• 该方法为非侵入式，仅需全阶解的快照，无需访问原始PDE的弱形式或残差计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 非侵入式、数据驱动的降阶模型能否在时间依赖的参数化问题中，准确预测新参数值与新时间点的全阶解？
• RQ2 卷积自编码器结合HODMD在非线性潜在空间中能否有效捕捉对流主导问题的动力学？
• RQ3 时间延迟状态数量（n_delay）对潜在空间动力学与解预测精度有何影响？
• RQ4 所提方法是否能在在线阶段实现高精度与极低计算成本，尤其在Kolmogorov n-宽度衰减缓慢的问题中？

主要发现

• CAE-PHODMD方法的重建误差与仅使用CAE时相当，2D Kelvin-Helmholtz问题在t=0.568时的ε_CAE = 4.090×10⁻³。
• CAE-PHODMD方法的预测误差低至ε_CAE-PHODMD = 4.076×10⁻³（当n_delay=10时），表明解预测具有高精度。
• 在2D Kelvin-Helmholtz不稳定性问题中，当n_latent=8且n_delay=10时，该方法在t=0.933成功捕捉了复杂且动态演化的模式，其重建质量与CAE相当。
• HODMD能良好建模潜在空间动力学，当n_delay ≥ 10时，潜在空间的重建误差保持稳定，表明对延迟窗口大小具有鲁棒性。
• 该方法成功预测了对流主导问题的解，而传统线性降阶空间因Kolmogorov n-宽度衰减缓慢而往往失效。
• 在线阶段计算高效，因大部分计算量大的操作均在离线阶段完成，从而实现在新参数与新时间点的快速求解。