[论文解读] Non intrusive method for parametric model order reduction using a bi-calibrated interpolation on the Grassmann manifold

Mourad Oulghelou, Cyrille Allery|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 19被引用 5

一句话总结

该论文提出Bi-CITSGM，一种非侵入式参数化模型降阶方法，通过在Grassmann流形上使用双校准插值法对POD空间和时间基进行插值。通过利用ITSGM进行切空间插值，并应用两个基于解析优化的校准矩阵，该方法在无需训练的雷诺数下实现了高保真度的ROM，并具备实时计算效率。

ABSTRACT

Approximating solutions of non-linear parametrized physical problems by interpolation presents a major challenge in terms of accuracy. In fact, pointwise interpolation of such solutions is rarely efficient and leads generally to incorrect results. However, instead of using a straight forward interpolation on solutions, reduced order models can be interpolated. More particularly, Amsallem and Farhat proposed an efficient POD reduced order model interpolation technique based on differential geometry tools. This approach, named in this paper ITSGM (Interpolation On a Tangent Space of the Grassmann Manifold), allows through the passage to the tangent space of the Grassmann manifold, to approximate accurately the reduced order basis associated to a new untrained parameter. This basis is used afterwards to build the interpolated ROM describing the temporal dynamics by performing the Galerkin projection on the high fidelity model. Such Galerkin ROMs require to access to the underlying high fidelity model, leading by that to intrusive ROMs. In this paper, and contrary to the ITSGM/Galerkin approach, we propose a non-intrusive reduced order modeling method which is independent of the governing equations. This method is named through this paper Bi-CITSGM (Bi-Calibrated ITSGM). It consists first to interpolate the spatial and temporal POD sampling bases considered as representatives of points on Grassmann manifolds, by the ITSGM method. Then, the resulting bases modes are reclassified by introducing two orthogonal matrices. These calibration matrices are determined as analytical solutions of two optimization problems. Results on the flow problem past a circular cylinder where the parameter of interpolation is the Reynolds number, show that for new untrained Reynolds number values, the developed approach produces satisfyingly accurate solutions in a real computational time.

研究动机与目标

• 解决在参数空间中求解参数化非线性PDE时的高计算成本问题，特别是在高保真度模型重新计算代价高昂的情况下。
• 克服需要访问控制方程的侵入式降阶模型（ROM）的局限性，这些方法不适用于实验或黑箱数据。
• 开发一种非侵入式ROM框架，通过在Grassmann流形上插值POD基而不需访问高保真度模型，从而保持精度与效率。
• 通过引入基于正交矩阵的双校准过程，提升插值基的精度，这些正交矩阵源自解析优化问题。
• 实现在复杂流动问题中对新未训练参数值（如雷诺数）的实时、高精度解预测。

提出的方法

• 使用ITSGM（Grassmann流形切空间上的插值）方法，将空间和时间POD基（视为Grassmann流形上的点）进行插值，以计算测地线路径。
• 将插值后的基从Grassmann流形映射到参考点处的切空间，在此进行初始速度的线性插值。
• 通过指数映射将插值后的切向量重建为基，确保其保持在Grassmann流形上。
• 通过两个优化问题的解析解引入两个正交校准矩阵，以改进插值基的精度。
• 通过投影高保真度模型动力学，无需其内部结构，利用校准后的基构建非侵入式ROM。
• 利用校准后的基通过Galerkin投影重建全维解，实现在新参数值下的快速且高精度模拟。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种非侵入式ROM，使其在无需访问控制方程的情况下，准确插值参数空间中的降阶基？
• RQ2 与标准ITSGM相比，通过正交矩阵实现的双校准在Grassmann流形上如何提升POD基插值的精度？
• RQ3 在流动模拟中，对于未训练的雷诺数，所提出的Bi-CITSGM方法在保持精度和计算效率方面能达到何种程度？
• RQ4 在Grassmann流形上对空间和时间POD模态进行插值，能否为非线性参数化问题提供稳定且准确的非侵入式ROM？
• RQ5 与传统侵入式ROM或其他非侵入方法相比，Bi-CITSGM在参数化流动问题中的计算性能提升如何？

主要发现

• Bi-CITSGM方法在圆柱绕流问题中对新未训练雷诺数的解预测表现出高精度，结果与高保真度模拟高度吻合。
• 双校准过程显著提升了插值精度，通过减少重构解中的投影误差，有效降低了基对齐误差。
• 该方法实现了实时解预测，新参数值的计算时间仅需数秒，适用于在线应用。
• Bi-CITSGM的非侵入特性使其可应用于实验或黑箱数据，其中底层PDE未知或不可访问。
• 采用Grassmann流形插值与切空间映射，确保了在参数变化下基插值的几何一致性与稳定性。
• 两个校准矩阵的解析推导确保了鲁棒性，并避免了迭代优化，从而提升了计算效率。