[论文解读] Non-Invertible Defects in Nonlinear Sigma Models and Coupling to Topological Orders

Po-Shen Hsin|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用 17

一句话总结

本文通过将非线性 sigma 模型与拓扑量子场论（TQFT）耦合，引入了非可逆磁缺陷，表明拓扑相互作用可诱导非阿贝尔的任意子融合与统计行为。关键结果是，原本可逆的磁缺陷由于高阶对称性与异常流入机制而变为非可逆，从而在 3+1D 系统中产生新颖的三环编织统计与非阿贝尔任意子行为。

ABSTRACT

Nonlinear sigma models appear in a wide variety of physics contexts, such as the long-range order with spontaneously broken continuous global symmetries. There are also large classes of quantum criticality admit sigma model descriptions in their phase diagrams without known ultraviolet complete quantum field theory descriptions. We investigate defects in general nonlinear sigma models in any spacetime dimensions, which include the "electric" defects that are characterized by topological interactions on the defects, and the "magnetic" defects that are characterized by the isometries and homotopy groups. We use an analogue of the charge-flux attachment to show that the magnetic defects are in general non-invertible, and the electric and magnetic defects form junctions that combine defects of different dimensions into analogues of higher-group symmetry. We explore generalizations that couple nonlinear sigma models to topological quantum field theories by defect attachment, which modifies the non-invertible fusion and braiding of the defects. We discuss several applications, including constraints on energy scales and scenarios of low energy dynamics with spontaneous symmetry breaking in gauge theories, and axion gauge theories.

研究动机与目标

• 理解在拓扑序存在下非线性 sigma 模型中非可逆缺陷的涌现机制。
• 研究电与磁缺陷之间的拓扑相互作用如何形成高阶群对称性结构。
• 探索非线性 sigma 模型与 TQFT 耦合对缺陷融合与编织规则的影响。
• 识别磁缺陷变为非可逆并表现出非阿贝尔统计行为的条件。
• 为具有自发对称性破缺与拓扑序的系统中的非可逆缺陷提供场论框架。

提出的方法

• 通过子流形上的拓扑项（如 $\int d\theta$ 或 $\int B \cup B'$）形式化定义‘电’缺陷，通过同伦群上的边界条件定义‘磁’缺陷。
• 通过拓扑相互作用引入电荷-通量绑定，导致缺陷网络中出现高阶群对称性结构。
• 利用流入机制与异常消除推导非可逆融合规则，例如 $U_{E,\alpha} \times \overline{U_{E,\alpha}} = \frac{1}{\mathcal{N}} \sum_n \sum_{\gamma} e^{i\alpha n \int_\Sigma b'} e^{i\frac{\alpha}{2\pi} \int_\gamma d\theta}$。
• 分析涉及轴子弦、磁表面缺陷与线算符的相关函数，以提取编织统计信息。
• 将该框架应用于 3+1D 轴子规范理论，表明当 $M=8$ mod 16 时，轴子弦与磁表面缺陷的复合缺陷成为费米子弦。
• 推导三环编织的三重链接数相关函数：$\langle U_{q_A} U_{E,\alpha} \mathcal{W}_{(0,q_m)} \rangle = e^{i q_A q_m \alpha \int \delta(V_A)^\perp \cup \delta(V_E)^\perp \cup \delta(\Sigma_M)^\perp}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 拓扑相互作用如何在非线性 sigma 模型的磁缺陷中诱导非可逆融合规则？
• RQ2 高阶群对称性在组织电与磁缺陷的编织与融合行为中起什么作用？
• RQ3 将非线性 sigma 模型与 TQFT 耦合如何改变缺陷统计与相关函数？
• RQ4 在何种条件下磁表面缺陷会变为非可逆？其物理起源是什么？
• RQ5 在 3+1D 系统中，轴子弦、磁线缺陷与表面缺陷的相互作用能否导致三环编织统计行为的出现？

主要发现

• 在 3+1D 轴子理论中，磁表面缺陷由于与体 $\mathbb{Z}_2$ 二形式规范场耦合而变为非可逆，其融合规则为 $U_{E,\alpha} \times \overline{U_{E,\alpha}} = \frac{1}{\mathcal{N}} \sum_n \sum_{\gamma} e^{i\alpha n \int_\Sigma b'} e^{i\frac{\alpha}{2\pi} \int_\gamma d\theta}$。
• 当 $M=8$ mod 16 时，轴子弦与 $\alpha=\pi$ 的磁表面缺陷的复合缺陷成为费米子弦，表明其具有非阿贝尔统计行为。
• 磁线缺陷与磁表面缺陷的编织过程会发射额外的线算符 $e^{i\frac{q_m \alpha}{2\pi} \int d\theta}$，表明其具有非阿贝尔编织特性。
• 相关函数 $\langle U_{q_A} U_{E,\alpha} \mathcal{W}_{(0,q_m)} \rangle = e^{i q_A q_m \alpha \int \delta(V_A)^\perp \cup \delta(V_E)^\perp \cup \delta(\Sigma_M)^\perp}$ 确认了具有三重链接数统计的三环编织过程。
• 将 theta 角移动 $2\pi$ 会诱导识别关系 $(q_e, q_m) \sim (q_e + q_m, q_m)$，揭示了线算符谱中的非阿贝尔任意子结构。
• 在 $\mathbb{Z}_K$ 规范理论与 $T^N$ sigma 模型耦合的系统中，缺陷的修正融合与编织规则由拓扑耦合导出，展现出非可逆行为。