[论文解读] Non-invertible Symmetries and Higher Representation Theory II

Thomas Bartsch, Mathew Bullimore+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2022

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 26

一句话总结

本论文发展了一个用于从量子群的有限高阶群及其子群量子化中产生的不可逆对称性的更高群理论框架，并在 D=2、3、4 中给出具体的范畴描述。

ABSTRACT

In this paper we continue our investigation of the global categorical symmetries that arise when gauging finite higher groups and their higher subgroups with discrete torsion. The motivation is to provide a common perspective on the construction of non-invertible global symmetries in higher dimensions and a precise description of the associated symmetry categories. We propose that the symmetry categories obtained by gauging higher subgroups may be defined as higher group-theoretical fusion categories, which are built from the projective higher representations of higher groups. As concrete applications we provide a unified description of the symmetry categories of gauge theories in three and four dimensions based on the Lie algebra $\mathfrak{so}(N)$, and a fully categorical description of non-invertible symmetries obtained by gauging a 1-form symmetry with a mixed 't Hooft anomaly. We also discuss the effect of discrete torsion on symmetry categories, based a series of obstructions determined by spectral sequence arguments.

研究动机与目标

• 动机化并形式化来自通过有限高阶群及其带离散扭结的高阶子群量子化的全局范畴对称性。
• 将更高群理论融合范畴定义为从对有限高阶群的无异常子群进行量子化而产生的对称性范畴。
• 给出与 so(N) 相关的 3D 与 4D 规范理论的对称性范畴的统一范畴描述。
• 描述通过对带混合 ’t Hooft 异常的一-form 对称性进行量子化而得到的不可逆对称性。
• 通过阻碍理论和谱序理论研究离散扭结对对称性范畴的影响。

提出的方法

• 为具有有限群状对称性 G 和 α ∈ Z^{D+1}(G,U(1)) 的 D 维理论引入对称性范畴 (D-1)Vec^α(G)。
• 对无异常的 (D-1)-子群 H ⊂ G 进行量子化，给出 α|_H 的平凡化 ψ，从而得到更高群理论融合范畴 C(G,α|H,ψ)。
• 将简单对象、态射及融合规则描述为在 Vec^α(G) 中代数对象 A(H,ψ) 的双边模。
• 专门化到 D=2、3、4，给出详细的二维、三维和四维案例研究，并讨论来自 Lyndon-Hochschild-Serre 谱序的阻塞。
• 将构造与 Dijkgraaf-Witten 理论的带隙边界条件以及与具有异常对称性的 TQFT 耦合联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用更高群理论融合范畴捕捉 D>2 的不可逆全局对称性？
• RQ2 对有限群 G 的无异常子群 H 进行量子化，并给出平凡化 ψ，如何修改对称性范畴及其简单对象？
• RQ3 在量子化后，投影（高阶）表示在标注简单对象中的作用？
• RQ4 离散扭结和谱序阻塞如何影响对称性范畴的存在性和结构？
• RQ5 在 D=3 和 D=4 的以 SO(N) 为基础的规范理论的对称性范畴的具体范畴描述是什么，它们如何与 TQFT 和异常抵消相关？

主要发现

• 对 G 的无异常子群 H 进行量子化并给出平凡化 ψ，会得到一个更高群理论融合范畴 C(G,α|H,ψ)。
• C(G,α|H,ψ) 中的简单对象对应于对 (g, Φ_g) 的对，其中 g 取自 Hackslash G/H 的双陪集，Φ_g 是 H_g = H ∩ gHg^{-1} 的一个不可约投影表示，具有由 α 与 ψ 构成的特定 2- cocycle c_g。
• 态射为与 H-缺陷节点兼容的互绕态，实质上给出 Hom 为空间作为 H_g 的投影表示之间的互绕。
• 融合由双陪集环 Z[Hackslash G/H] 支配，融合规则保持定义的支撑，并通过将双陪集积提升到 G 来计算。
• 在 D=4，框架预期会有带有 TQFT 值的融合系数，这是由于对 3D 缺陷上的拓扑线的 braiding 引入的，与 DW 理论的高阶群数据的带隙边界条件相关。
• 离散扭结引入通过谱序微分捕获的阻塞，影响可能的扩展以及由此产生的对称性范畴结构。