[论文解读] Non-Invertible Symmetries from Discrete Gauging and Completeness of the Spectrum

Guillermo Arias-Tamargo, Diego Rodrı́guez-Gómez|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用 7

一句话总结

本文研究了具有不连通规范群（如 $\widetilde{SU}(N)$ 和 $\widetilde{U}(N)$）的规范理论中的非可逆 1-形式对称性，这些群包含电荷共轭。通过 Gukov-Witten 算符和表示理论，本文表明由于不连通分支中不存在拓扑算符，电 1-形式对称性为非可逆；而 $(d-2)$-形式对称性则在弦理论嵌入中被扭旋涡（twist vortices）所破缺——这支持了量子引力中全局对称性不存在的 Swampland 猜想。

ABSTRACT

We study global 1- and $(d-2)$-form symmetries for gauge theories based on disconnected gauge groups which include charge conjugation. For pure gauge theories, the 1-form symmetries are shown to be non-invertible. In addition, being the gauge groups disconnected, the theories automatically have a $\mathbb{Z}_2$ global $(d-2)$-form symmetry. We propose String Theory embeddings for gauge theories based on these groups. Remarkably, they all automatically come with twist vortices which break the $(d-2)$-form global symmetry. This is consistent with the conjectured absence of global symmetries in Quantum Gravity.

研究动机与目标

• 研究纯规范理论中具有不连通规范群（如 $\widetilde{SU}(N)$ 和 $\widetilde{U}(N)$）的高阶形式全局对称性，这些群包含电荷共轭。
• 利用 Gukov-Witten 算符和特征理论，确定此类理论中电 1-形式对称性是否为可逆或非可逆。
• 考察由不连通规范群的非平凡 $\pi_0(G)$ 所产生的 $(d-2)$-形式对称性的角色。
• 构建这些规范理论的弦理论嵌入，并分析其是否自然地通过扭旋涡破缺全局对称性。
• 在该类理论中检验 Swampland 猜想——特别是全局对称性不存在以及谱的完备性——的适用性。

提出的方法

• 作者使用 Gukov-Witten 算符对生成 1-形式对称性的拓扑算符进行分类，计算其与伴随规范线（adjoint Wilson lines）的链接数。
• 在极大环面及其 $\mathbb{Z}_2$-不变子群 $T^\Theta$ 上应用特征理论，以确定哪些共轭类会产生拓扑算符。
• 对于 $\widetilde{SU}(3)_I$，通过重参数化参数（fugacities）简化特征计算，表明仅特定解满足拓扑条件 $\chi_{\text{Adj}}(a) = \dim\,\text{Adj}$。
• 推导出在不连通分支中不存在满足条件的拓扑算符，意味着该分支中无拓扑对称性生成元。
• 通过膜构型构建弦理论嵌入，其中自然包含破缺 $(d-2)$-形式对称性的扭旋涡。
• 分析依赖于 $SU(N)$ 对 $\mathbb{Z}_2$ 外自同构的主扩张，该扩张诱导电荷共轭并导致非单连通规范群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在包含不连通规范群（如 $\widetilde{SU}(N)$）的纯规范理论中，电 1-形式对称性是否保持可逆，还是变为非可逆？
• RQ2 能否从规范群的不连通分支中构造出拓扑 Gukov-Witten 算符？
• RQ3 $(d-2)$-形式全局对称性如何由规范群的不连通性产生？在与量子引力相容的构造中，这些对称性是否被保留？
• RQ4 这些理论的弦理论嵌入是否自然地包含破缺全局对称性的对象，如 Swampland 程序所要求？
• RQ5 谱的完备性在非可逆对称性出现及全局对称性缺失中的作用是什么？

主要发现

• 在 $\widetilde{SU}(N)$ 和 $\widetilde{U}(N)$ 规范理论中，电 1-形式对称性为非可逆，因为仅存在一个非平凡的拓扑 Gukov-Witten 算符，其量子维数为 2。
• 由于 $T^\Theta$ 维数降低，不连通分支中不存在拓扑 Gukov-Witten 算符，因为特征条件 $\chi_{\text{Adj}}(\Theta(t')) = \dim\,\text{Adj}$ 无解。
• 与 $\pi_0(G)$ 相关的 $(d-2)$-形式全局对称性在弦理论嵌入中被扭旋涡自发破缺，与 Swampland 猜想一致。
• 对于 $\widetilde{SU}(3)_I$，满足拓扑条件的唯一解为 $z_1 = 1, z_2^3 = 1$，对应一个非平凡对称性生成元，其量子维数为 2。
• 这些理论的弦理论构造自动包含破缺 $(d-2)$-形式对称性的扭旋涡，为全局对称性缺失提供了动力学实现。
• 结果支持 Swampland 猜想，即全局对称性无法存在于一致的量子引力中，因为 1-形式与 $(d-2)$-形式对称性在 UV 完备嵌入中要么非可逆，要么被显式破缺。