[论文解读] Non-isometric hyperbolic 3-orbifolds with the same topological type and volume

Jérôme Los, Luisa Paoluzzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 1

一句话总结

本文通过将它们构造为同一伪阿诺索夫映射在亏格-2曲面上的映射环丛的分支覆盖，构造了无穷多对非同构的双曲3-轨道丛，这些轨道丛具有相同的拓扑类型和体积。该构造利用了两个不同的2mn重分支覆盖，覆盖一个五分量的双曲链，由环面商的阿诺索夫映射的提升诱导，其分歧阶数分别为(2,2,2m,2m,n)和(2,2,2n,2n,m)，尽管体积和拓扑相同，但导致了非同构的轨道丛。

ABSTRACT

We construct pairs of non-isometric hyperbolic 3-orbifolds with the same topological type and volume. Topologically these orbifolds are mapping tori of pseudo-Anosov maps of the surface of genus 2, with singular locus a fibred (hyperbolic) link with five components.

研究动机与目标

• 证明存在具有相同拓扑类型和体积的非同构双曲3-轨道丛。
• 通过亏格-2曲面上伪阿诺索夫映射的映射环丛的分支覆盖构造此类对。
• 表明这些轨道丛作为同一双曲3-流形的商，通过非等价群作用获得，且分歧数据不同。
• 通过变化参数n > m ≥ 2，建立该构造可产生无穷多对这样的轨道丛。

提出的方法

• 从亏格g = 6nm − n − m + 1的曲面到亏格-2曲面构造两个非等价的2mn重分支覆盖，分支点为五点，分歧阶数分别为(2,2,2m,2m,n)和(2,2,2n,2n,m)。
• 使用中间轨道丛覆盖：首先通过mn重覆盖到一个具有锥点(m,m,n,n)的亏格-5轨道丛，再通过双重覆盖得到目标轨道丛。
• 将基轨道丛实现为具有四个锥点(2,2,2m,2n)的环面的商，使用Z/m × Z/n和Z/2 × Z/2作用。
• 将环面上的线性阿诺索夫映射提升到曲面覆盖，确保提升与提升变换可交换并保持纤维结构。
• 将3-轨道丛构造为提升后的伪阿诺索夫映射的映射环丛，通过阿诺索夫动力系统确保双曲性。
• 验证所得轨道丛由于分歧数据不同而为非同构，尽管其底层拓扑和体积相同。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在具有相同拓扑类型和体积的非同构双曲3-轨道丛？
• RQ2 此类轨道丛是否自然地作为具有不同分歧结构的同一双曲3-流形的分支覆盖出现？
• RQ3 能否使用统一的几何构造方法构造无穷多对这样的轨道丛？
• RQ4 是否可以将此类轨道丛实现为亏格-2曲面上伪阿诺索夫映射的映射环丛，且具有奇异纤维？
• RQ5 对称性和提升变换在区分具有相同拓扑和体积不变量的分支覆盖结构中起什么作用？

主要发现

• 本文通过参数族n > m ≥ 2，构造了无穷多对具有相同拓扑类型和体积的非同构双曲3-轨道丛。
• 每对轨道丛均为同一双曲3-流形M关于两个不同阶为2mn的群作用的商，其分歧阶数分别为(2,2,2m,2m,n)和(2,2,2n,2n,m)。
• 3-轨道丛是亏格-2曲面上伪阿诺索夫映射的映射环丛，奇异轨迹为一个五分量的双曲链，纤维化于圆周上。
• 该构造依赖于将环面商上的阿诺索夫映射提升到曲面覆盖，保持纤维结构并确保双曲性。
• 关联3-流形的体积在阿诺索夫映射迭代下增长，即使在固定链和分歧类型下，也意味着存在无穷多个不同的例子。
• 基轨道丛中的五分量链是双曲且纤维化的，因为它们源自五极亏格-2曲面上的伪阿诺索夫映射。