[论文解读] Non-linear ground state representations and sharp Hardy inequalities

Rupert L. Frank, Robert Seiringer|ArXiv.org|Mar 4, 2008

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用 33

一句话总结

本文针对一般 $1 \leq p < N/s$ 和 $0 < s < 1$ 的情形，通过一种新颖的非线性、非局部基态表示方法，建立了分数阶 Hardy 不等式的精确常数，该方法同时给出了余项。关键结果是给出了最优常数 $\mathcal{C}_{N,s,p}$ 的显式公式，从而为 Lorentz 空间中的最优 Sobolev 嵌入提供了新证明，并刻画了重排不等式中等号成立的情形。

ABSTRACT

We determine the sharp constant in the Hardy inequality for fractional Sobolev spaces. To do so, we develop a non-linear and non-local version of the ground state representation, which even yields a remainder term. From the sharp Hardy inequality we deduce the sharp constant in a Sobolev embedding which is optimal in the Lorentz scale. In the appendix, we characterize the cases of equality in the rearrangement inequality in fractional Sobolev spaces.

研究动机与目标

• 确定 $\dot{W}^s_p(\mathbb{R}^N)$ 空间中一般 $p$ 和 $s$ 的分数阶 Hardy 不等式的精确常数。
• 构建一种非线性、非局部的基态表示方法，使不等式中出现余项。
• 推导出到 Lorentz 空间 $L_{p^*,p}(\mathbb{R}^N)$ 的最优 Sobolev 嵌入中的最优常数。
• 刻画分数阶 Sobolev 范数重排不等式中等号成立的情形。

提出的方法

• 利用核函数 $k(x-y)$ 和泛函 $E[u]$，推导分数阶 $p$-Dirichlet 能量的非线性、非局部基态表示。
• 利用 Gamma 函数和高斯权重的恒等式，将分数阶 Dirichlet 能量表示为 $\alpha > 0$ 上的积分：$\iint \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+ps}} dx dy = \frac{1}{\Gamma((N+ps)/2)} \int_0^\infty I_\alpha[u] \alpha^{(N+ps)/2 - 1} d\alpha$。
• 通过分解 $u = u_M + v_M$，其中 $u_M = \min\{u, M\}$，并分析对称递减重排下的能量泛函。
• 通过证明能量泛函 $E[u]$ 在重排下被最小化，即利用 Riesz 重排不等式，表明能量分解的每一部分在重排下均非增。
• 通过证明核函数的严格严格凸性和单调性，刻画重排不等式中等号成立的情形：等号成立当且仅当 $u$ 是某个对称递减函数的平移。
• 应用精确的 Hardy 不等式，推导出 Lorentz 尺度 Sobolev 嵌入 $\dot{W}^s_p(\mathbb{R}^N) \subset L_{p^*,p}(\mathbb{R}^N)$ 中的最优常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $1 \leq p < N/s$ 和 $0 < s < 1$，分数阶 Hardy 不等式的精确常数是什么？
• RQ2 能否构造一种非线性、非局部的基态表示方法，使分数阶 Hardy 不等式中出现余项？
• RQ3 到 Lorentz 空间 $L_{p^*,p}(\mathbb{R}^N)$ 的 Sobolev 嵌入中的最优常数是什么？
• RQ4 分数阶 Sobolev 范数重排不等式中等号成立的条件是什么？
• RQ5 精确 Hardy 常数与 $s \to 1$ 极限下的 Bourgain–Brezis–Mironescu 估计有何关系？

主要发现

• 分数阶 Hardy 不等式的精确常数由下式显式给出：$\mathcal{C}_{N,s,p} = 2\int_0^1 r^{ps-1} |1 - r^{(N-ps)/p}|^p \Phi_{N,s,p}(r) dr$，其中 $\Phi_{N,s,p}(r)$ 通过面积分或超几何型表达式定义。
• 当 $p=1$ 时，Hardy 不等式中等号成立当且仅当 $u$ 与某个对称递减函数成比例。
• 当 $p>1$ 时，对于所有非零函数 $u \in \dot{W}^s_p(\mathbb{R}^N)$ 或 $u \in \dot{W}^s_p(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$，不等式严格成立。
• 精确常数 $\mathcal{C}_{N,s,p}$ 推出最优 Lorentz 尺度 Sobolev 嵌入 $\dot{W}^s_p(\mathbb{R}^N) \subset L_{p^*,p}(\mathbb{R}^N)$，其中 $p^* = Np/(N - ps)$。
• 在核函数严格凸性和单调性的假设下，重排不等式中等号成立的情形被完全刻画：等号成立当且仅当 $u$ 是某个对称递减函数的平移。
• 对 $\mathcal{C}_{N,s,p}$ 的显式公式恢复并改进了 Maz’ya 和 Shaposhnikova 的早期界，并通过傅里叶变换重现了 $p=2$ 时的已知结果。