[论文解读] Non-linear Hopf manifolds are locally conformally Kahler

Liviu Ornea, Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2022

Geometry and complex manifolds被引用 5

一句话总结

该论文证明了非线性霍普夫流形——即 $\mathbb{C}^n\setminus 0$ 关于非线性全纯收缩的商—— admits 局部共形凯勒（LCK）度量且具有势函数。作者通过利用泛函分析工具（如里斯-施劳德定理和有限维 $γ$-不变子空间）将此类流形嵌入到线性霍普夫流形中，从而继承了来自环境线性设定的 LCK 结构。

ABSTRACT

A Hopf manifold is a quotient of $C^n\backslash 0$ by the cyclic group generated by a holomorphic contraction. Hopf manifolds are diffeomorphic to $S^1 imes S^{2n-1}$ and hence do not admit Kahler metrics. It is known that Hopf manifolds defined by linear contractions (called linear Hopf manifolds) have locally conformally Kahler (LCK) metrics. In this paper we prove that the Hopf manifolds defined by non-linear holomorphic contractions admit holomorphic embeddings into linear Hopf manifolds, and, moreover they admit LCK metrics.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：非线性霍普夫流形是否 admits 局部共形凯勒（LCK）度量且具有势函数。
• 将已知结果从线性霍普夫流形 admits LCK 度量且具有势函数推广到非线性情形。
• 建立一个关于非线性霍普夫流形嵌入到线性霍普夫流形中的通用嵌入定理，使用全纯收缩理论。
• 提供一种概念性且构造性的证明，证明非线性霍普夫流形上存在 LCK 结构，而无需依赖庞加莱标准型。
• 证明 LCK 性质（具有势函数）在嵌入到线性霍普夫流形中时保持不变，利用 LCK 度量具有势函数的稳定性。

提出的方法

• 使用里斯-施劳德定理和正规族理论，分析在具有孤立奇点的斯坦流形上全纯函数空间中的 $F$-有限向量。
• 证明 $\gamma$-有限全纯函数空间在 $\langle \gamma \rangle$ 作用的预紧基本域上的 $C^0$-拓扑中是稠密的。
• 构造一个由 $\gamma$-有限函数生成的有限维 $\gamma^*$-不变子空间 $W \subset H^0(V, \mathcal{O}_V)$，并确保相应的映射 $\Psi: V \to W \cong \mathbb{C}^N$ 是一个闭的全纯嵌入。
• 构造一个交换图，显示 $\Psi$ 在 $\gamma$ 和 $\gamma^*$ 下的等变性，从而实现商空间的构造。
• 取商得到一个全纯嵌入 $\frac{V\setminus x}{\langle \gamma \rangle} \hookrightarrow \frac{W\setminus 0}{\langle \gamma^* \rangle}$，其中目标是线性霍普夫流形。
• 应用已知结果：线性霍普夫流形 admits LCK 度量且具有势函数，并利用 LCK 流形的闭子流形若具有势函数，则其自身也具有 LCK 度量且具有势函数这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 非线性霍普夫流形——由非线性全纯收缩定义——是否 admits 局部共形凯勒度量且具有势函数？
• RQ2 一个非线性霍普夫流形能否被全纯嵌入到一个线性霍普夫流形中？
• RQ3 具有势函数的 LCK 性质在嵌入到线性霍普夫流形中时是否保持不变？
• RQ4 能否利用 $\gamma$-有限全纯函数的泛函分析结构来构造此类嵌入？
• RQ5 在高维中，非线性收缩缺乏庞加莱标准型，是否阻碍了 LCK 度量的构造？

主要发现

• 非线性霍普夫流形，定义为 $({\mathbb{C}}^n\setminus 0)/\langle \gamma \rangle$，其中 $\gamma$ 为非线性全纯收缩，admits 局部共形凯勒（LCK）度量且具有势函数。
• 每个此类非线性霍普夫流形都 admits 一个全纯嵌入到一个线性霍普夫流形中，具体为 $({\mathbb{C}}^N\setminus 0)/\langle \gamma^* \rangle$，其中 $N$ 为某个整数。
• 该构造依赖于 $\gamma$-有限全纯函数在 $\langle \gamma \rangle$ 作用的预紧基本域上的 $C^0$-拓扑中的稠密性，从而确保有限维 $\gamma^*$-不变子空间的存在。
• 由此得到的嵌入是闭的且 $\gamma$-等变的，使得商空间能够从环境线性霍普夫流形中继承 LCK 结构。
• 由于线性霍普夫流形 admits LCK 度量且具有势函数，且具有势函数的 LCK 流形的闭子流形自身也具有 LCK 度量且具有势函数，因此非线性霍普夫流形继承了这一结构。
• 该结果在所有复维数 $n \geq 2$ 下成立，无需通常因斯坦完备化问题而施加的维数限制 $\geq 3$——此处 $\mathbb{C}^n\setminus 0$ 的覆盖本身已有斯坦完备化 $\mathbb{C}^n$。