[论文解读] Non linear optimal stopping problem and Reflected BSDEs in the predictable setting

Siham Bouhadou, Youssef Ouknine|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过最优停时理论与Mertens分解，建立了在非准左连续过滤下具有可预测障碍的反射倒向随机微分方程（RBSDEs）的存在性与唯一性。引入了一类在可预测$g$-期望下的非线性最优停时问题，证明了最优可预测停时的存在性，并通过RBSDE的第一分量刻画了值函数。

ABSTRACT

In the first part of this paper, we study RBSDEs in the case where the filtration is not quasi-left continuous and the lower obstacle is given by a predictable process. We prove the existence and uniqueness by using some results of optimal stopping theory in the predictable setting, some tools from the general theory of processes as the Merten's decomposition of predictable strong supermartingale. In the second part we introduce an optimal stopping problem indexed by predictable stopping times with the non linear predictable $g$ expectation induced by an appropriate BSDE. We establish some useful properties of ${\cal{E}}^{p,g}$-supremartingales. Moreover, we show the existence of an optimal predictable stopping time, and we characterize the predictable value function in terms of the first component of RBSDEs studied in the first part.

研究动机与目标

• 研究当过滤非准左连续且障碍可预测时的反射BSDEs。
• 利用最优停时理论与过程的一般理论，建立解的存在性与唯一性。
• 在$g$-期望框架下，引入基于可预测停时的非线性最优停时问题。
• 通过RBSDE的第一分量刻画可预测值函数。
• 在$\mathcal{E}^{p,g}$-上鞅框架下，证明最优可预测停时的存在性。

提出的方法

• 利用Mertens对可预测强上鞅的分解，分析RBSDE的结构。
• 应用过程的一般理论工具，包括可选与可预测投影。
• 通过带鞅左极限的倒向SDE，定义可预测$g$-条件期望。
• 构造$\mathcal{E}^{p,g}$-上鞅族，并推导其关键性质。
• 在可预测设定中使用Snell上包络刻画值函数。
• 通过RBSDE的第一分量$Y$，建立最优停时问题与RBSDE解之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 当过滤非准左连续且障碍可预测时，RBSDE应如何表述与求解？
• RQ2 此类RBSDE解的存在性与唯一性的必要与充分条件是什么？
• RQ3 能否基于可预测$g$-期望定义非线性最优停时问题，且该问题是否具有最优可预测停时？
• RQ4 可预测值函数与RBSDE解之间有何关系？
• RQ5 在此框架下，$\mathcal{E}^{p,g}$-上鞅满足哪些性质？

主要发现

• 在驱动函数$g$满足Lipschitz条件的假设下，建立了具有可预测障碍的RBSDE解的存在性与唯一性。
• 可预测$g$-条件期望定义良好，并诱导出$\mathcal{E}^{p,g}$-上鞅族。
• 在基于$\mathcal{E}^{p,g}$-上鞅构造的非线性最优停时问题中，最优可预测停时存在。
• 可预测值函数被刻画为RBSDE解的第一分量$Y_0$。
• 证明了RBSDE的解$Y$为可预测强上鞅，其Mertens分解被用于证明唯一性。
• 该框架将经典最优停时与BSDE理论推广至非准左连续设定，使得金融与随机控制情境中可预测跳跃的建模成为可能。