[论文解读] Non-local boundary value problem for a mixed-type equation involving the bi-ordinal Hilfer fractional differential operators

Erkinjon Karimov, Bakhodirjon Toshtemirov|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2021

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文研究了在矩形域中涉及双序Hilfer分数阶导数的混合型偏微分方程的非局部边值问题解的存在性与唯一性。通过采用本征函数展开并转化为伏尔泰拉积分方程，作者建立了确保解存在性及级数解一致收敛的充分条件，该结论基于Weierstrass M-判别法。

ABSTRACT

In this paper, we consider a nonlocal boundary-value problem for a mixed-type equation involving the bi-ordinal Hilfer fractional derivative in a rectangular domain. The main target of this work is to analyze the uniqueness and the existence of the solution of the considered problem by means of eigenfunctions. Moreover, we construct the solution of the ordinary fractional differential equation with the right-sided bi-ordinal Hilfer derivative by the method of reduction to the Volterra integral equation. Then, we present sufficient conditions for given data in order to show the existence of the solution.

研究动机与目标

• 分析涉及混合型方程与双序Hilfer分数阶导数的非局部边值问题解的存在性与唯一性。
• 通过引入双序Hilfer算子，扩展分数阶微分方程理论，该算子推广了Riemann-Liouville与Caputo导数。
• 建立关于给定数据（源函数、初值及非局部条件）的充分条件，以确保解的正则性与收敛性。
• 通过Weierstrass M-判别法，证明解的级数表示及其导数的收敛性。

提出的方法

• 问题在混合区域 Ω = Ω₁ ∪ Ω₂ ∪ AB 中建立，抛物部分与双曲部分分别由左、右型双序Hilfer分数阶导数控制。
• 通过空间变量的本征函数展开构造解，将PDE约化为常微分分数阶方程组。
• 将含右型双序Hilfer导数的常微分分数阶方程约化为第二类伏尔泰拉积分方程。
• 利用Weierstrass M-判别法，基于Mittag-Leffler函数与导数的L²范数所导出的界，证明级数解的收敛性。
• 通过将解系数表示为ψ(x)、f(x,t)及其导数的傅里叶系数，推导出数据的充分条件。
• 分析包括在t=0界面处的共轭条件，以确保解的分数阶积分在混合型边界处连续。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有双序Hilfer分数阶导数的混合型方程的非局部边值问题存在唯一解？
• RQ2 如何在矩形域中将解表示为一致收敛的级数？
• RQ3 本征函数展开与伏尔泰拉积分方程在证明存在性与唯一性中起到何种作用？
• RQ4 数据（ψ(x), f(x,t)）的正则性与可积性条件如何影响解的光滑性与收敛性？
• RQ5 为确保解的有界性与连续性，对源函数与非局部数据应施加何种精确充分条件？

主要发现

• 当Δₙ ≠ 0，ψ(x) ∈ C[0,l] ∩ C⁴(0,l)，且满足ψ(0)=ψ(l)=0，ψ''(0)=ψ''(l)=0，ψ⁽⁴⁾(0)=ψ⁽⁴⁾(l)=0，ψ⁽⁵⁾(x) ∈ L₂(0,l)时，解存在且唯一。
• 源函数f(x,t)需满足f(0,t)=f(l,t)=0，fₓₓ(0,t)=fₓₓ(l,t)=0，f(x,t) ∈ C[0,l]×[-T,T] ∩ C²,¹(0,l)×(-T,T)，且fₓ⁽³⁾(·,t) ∈ L₂(0,l)。
• 在Ω₁ ∪ Ω₂中，uₓₓ(x,t)的级数表示一致收敛，该结论由Weierstrass M-判别法及Mittag-Leffler函数的界保证。
• 分数阶导数D₀₊⁽ᵃ¹,ᵇ¹⁾ᵘ¹u与D₀₋⁽ᵃ²,ᵇ²⁾ᵘ²u的级数也一致收敛，其证明逻辑与uₓₓ的收敛性相同。
• 系数νₙ、φₙ与τₙ以ψ(x)与f(x,t)的傅里叶系数显式表示，其中νₙ涉及Δₙ的逆与导数的L₂范数。
• 利用Parseval恒等式与不等式2|1/Δₙ√λₙ ψ₅ₙ| ≤ 1/Δₙ²λₙ + |ψ₅ₙ|²，对级数进行控制，确保其收敛性。