[论文解读] Non local branching Brownians with annihilation and free boundary problems

Anna De Masi, Pablo A. Ferrari+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文研究了一类具有湮灭的非局部分支布朗运动，其中粒子在空间中随机分支，且通过移除最左侧粒子来维持固定的种群规模。通过基于质量传输的更强拓扑，该文建立了向自由边界问题的流体动力学极限，并给出了明确的收敛速率，扩展了先前关于局部分支与粒子系统中非局部扩散的研究。

ABSTRACT

We study a system of branching Brownian motions on $\mathbb R$ with annihilation: at each branching time a new particle is created and the leftmost one is deleted. In [7] it has been studied the case of strictly local creations (the new particle is put exactly at the same position of the branching particle), in [10] instead the position $y$ of the new particle has a distribution $p(x,y)dy$, $x$ the position of the branching particle, however particles in between branching times do not move. In this paper we consider Brownian motions as in [7] and non local branching as in [10] and prove convergence in the continuum limit (when the number $N$ of particles diverges) to a limit density which satisfies a free boundary problem when this has classical solutions, local in time existence of classical solution has been proved recently in [13]. We use in the convergence a stronger topology than in [7] and [10] and have explicit bounds on the rate of convergence.

研究动机与目标

• 将先前关于具有湮灭的分支布朗运动的模型扩展，引入非局部分支（即新粒子在随机位置生成）的同时保持布朗运动动力学。
• 建立粒子系统的流体动力学极限至连续自由边界问题，证明在强于以往工作的拓扑下实现收敛。
• 为极限密度的收敛速率提供显式、定量的界，优于文献中先前的结果。
• 解决粒子系统边界（最左侧粒子）的运动非单调的问题，该问题使得无法简化为经典Stefan型问题。
• 开发并应用随机上界与下界过程（上界与下界过程）以控制粒子动力学，并确保流体动力学极限中的紧致性。

提出的方法

• 将粒子系统建模为 $ \mathbb{R} $ 上的 $ N $ 个粒子，每个粒子执行独立的布朗运动，并以速率 1 分支，在位置 $ y $ 处生成新粒子，其概率密度为 $ p(x,y) $，其中 $ x $ 为父粒子的位置。
• 实施湮灭规则：每次分支后，立即移除最左侧粒子（最小位置）以维持粒子数量恒定。
• 采用强于以往工作的拓扑——基于质量传输（Wasserstein型）度量的拓扑，用于比较粒子系统的经验测度与极限密度。
• 构建随机上界与下界过程 $ \underline{x}^{\delta,\pm}(t) $ 以控制粒子系统的演化，并确保流体动力学极限中的紧致性。
• 应用大偏差估计与矩界（例如 $ \mathbb{E}[n(T)^k] $）以控制分支事件的数量与粒子位置随时间的演化。
• 证明经验测度收敛至由方程 (1.1) 与 (1.2) 定义的自由边界问题的解，并通过不等式 (A.3)–(A.4) 与 (A.6)–(A.12) 获得显式误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 非局部分支（新粒子的非局部生成）如何影响具有湮灭的分支布朗运动的流体动力学极限？
• RQ2 是否可以在强于以往工作的拓扑下建立流体动力学极限？其对收敛速率有何影响？
• RQ3 极限自由边界问题的本质是什么？它与经典Stefan问题或行波问题有何不同？
• RQ4 如何利用随机上界与下界过程控制粒子系统的位置与数量，以确保收敛？
• RQ5 可以为粒子系统向连续极限的收敛速率推导出哪些定量边界？

主要发现

• 在初始密度 $ \rho_0 $ 与核函数 $ p(x,y) $ 满足适当假设下，粒子系统依分布收敛至满足方程 (1.1) 与 (1.2) 定义的自由边界问题的极限密度。
• 收敛性在强于 [7] 与 [10] 的拓扑下建立，该拓扑基于质量传输，从而允许对收敛速率给出显式定量边界。
• 推导出显式误差边界：对任意区间 $ I $，经验测度与极限测度偏差超过 $ N^{\alpha_1} $ 的概率被控制在 $ cN^{1-2\alpha_1} $ 以内，如 (A.3) 与 (A.4) 所示。
• 以高概率（超过 $ 1 - c_{b,T}N^{-1} $），所有粒子在 $ t \in [0,T] $ 内保持在 $ [-N^b, N^b] $ 范围内，如定理 A.3 与推论 A.4 所示。
• 系统边界（最左侧粒子）的运动非单调，这使得无法简化为经典Stefan问题，因而需要新的分析技术。
• 通过与参考过程耦合构造的随机上界与下界过程 $ \underline{x}^{\delta,\pm}(t) $，能够对粒子位置实现精确控制，并支持收敛性证明。